Задание 2. Решите простейшие тригонометрические неравенства: а) cos(x/3) > √3/2; б) sin(2x) ≤ 1/2; в) 2 cos(2x + π/3) ≤ 1; г) 2 cos(4x − π/6) > √3; д) √3 tg(3x + π/6) < 1.

а) Пусть \(t=\frac{x}{3}\). Тогда \(\cos t>\frac{\sqrt{3}}{2}\) при \(-\frac{\pi}{6}+2\pi k<t<\frac{\pi}{6}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\). Умножаем на 3: \( -\frac{\pi}{2}+6\pi k<x<\frac{\pi}{2}+6\pi k\).

Ответ: \(x\in\left(-\frac{\pi}{2}+6\pi k;\frac{\pi}{2}+6\pi k\right),\ k\in\mathbb Z\).

б) Пусть \(t=2x\). На одном периоде неравенство \(\sin t\leq\frac12\) выполняется при \(-\frac{\pi}{2}+2\pi k\leq t\leq\frac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(\frac{5\pi}{6}+2\pi k\leq t\leq\frac{3\pi}{2}+2\pi k\). Делим на 2.

Ответ: \(x\in\left[-\frac{\pi}{4}+\pi k;\frac{\pi}{12}+\pi k\right]\cup\left[\frac{5\pi}{12}+\pi k;\frac{3\pi}{4}+\pi k\right],\ k\in\mathbb Z\).

в) Делим неравенство на 2: \(\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\leq\frac12\). Косинус не превосходит \(\frac12\) при \(\frac{\pi}{3}+2\pi k\leq 2x+\frac{\pi}{3}\leq\frac{5\pi}{3}+2\pi k\). Отсюда \(\pi k\leq x\leq\frac{2\pi}{3}+\pi k\).

Ответ: \(x\in\left[\pi k;\frac{2\pi}{3}+\pi k\right],\ k\in\mathbb Z\).

г) Делим на 2: \(\cos\left(4x-\frac{\pi}{6}\right)>\frac{\sqrt{3}}{2}\). Поэтому \(-\frac{\pi}{6}+2\pi k<4x-\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{6}+2\pi k\). После преобразования получаем \(2\pi k<4x<\frac{\pi}{3}+2\pi k\).

Ответ: \(x\in\left(\frac{\pi k}{2};\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}\right),\ k\in\mathbb Z\).

д) Делим на \(\sqrt{3}>0\): \(\tan\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)<\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan\frac{\pi}{6}\). Тангенс возрастает на каждом промежутке своей области определения, поэтому \(-\frac{\pi}{2}+\pi k<3x+\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{6}+\pi k\). Отсюда \(-\frac{2\pi}{3}+\pi k<3x<\pi k\).

Ответ: \(x\in\left(-\frac{2\pi}{9}+\frac{\pi k}{3};\frac{\pi k}{3}\right),\ k\in\mathbb Z\).