Задание 2. Решите неравенство:

Решение:

Неравенства вида \( (a-x)(x^2+bx+c) \ge 0 \) решаются разложением квадратного трёхчлена на множители (если возможно) и методом интервалов.

1. \( (4-x)(x^2+x-20) \ge 0 \). Разложим квадратный трёхчлен: \( x^2+x-20 = (x+5)(x-4) \). Получаем: \( (4-x)(x+5)(x-4) \ge 0 \) \( \Rightarrow -(x-4)^2(x+5) \ge 0 \) \( \Rightarrow (x-4)^2(x+5) \le 0 \). Корни: \( x=4 \) (кратности 2), \( x=-5 \). Решение: \( x \in (-\infty; -5] \).
2. \( (3-x)(x^2+2x-15) \ge 0 \). Разложим квадратный трёхчлен: \( x^2+2x-15 = (x+5)(x-3) \). Получаем: \( (3-x)(x+5)(x-3) \ge 0 \) \( \Rightarrow -(x-3)^2(x+5) \ge 0 \) \( \Rightarrow (x-3)^2(x+5) \le 0 \). Корни: \( x=3 \) (кратности 2), \( x=-5 \). Решение: \( x \in (-\infty; -5] \).
3. \( (5-x)(x^2+x-30) \ge 0 \). Разложим квадратный трёхчлен: \( x^2+x-30 = (x+6)(x-5) \). Получаем: \( (5-x)(x+6)(x-5) \ge 0 \) \( \Rightarrow -(x-5)^2(x+6) \ge 0 \) \( \Rightarrow (x-5)^2(x+6) \le 0 \). Корни: \( x=5 \) (кратности 2), \( x=-6 \). Решение: \( x \in (-\infty; -6] \).
4. \( (2-x)(x^2+2x-8) \ge 0 \). Разложим квадратный трёхчлен: \( x^2+2x-8 = (x+4)(x-2) \). Получаем: \( (2-x)(x+4)(x-2) \ge 0 \) \( \Rightarrow -(x-2)^2(x+4) \ge 0 \) \( \Rightarrow (x-2)^2(x+4) \le 0 \). Корни: \( x=2 \) (кратности 2), \( x=-4 \). Решение: \( x \in (-\infty; -4] \).
5. \( (3-x)(x^2+4x-21) \ge 0 \). Разложим квадратный трёхчлен: \( x^2+4x-21 = (x+7)(x-3) \). Получаем: \( (3-x)(x+7)(x-3) \ge 0 \) \( \Rightarrow -(x-3)^2(x+7) \ge 0 \) \( \Rightarrow (x-3)^2(x+7) \le 0 \). Корни: \( x=3 \) (кратности 2), \( x=-7 \). Решение: \( x \in (-\infty; -7] \).
6. \( (1-x)(x^2+5x-6) \ge 0 \). Разложим квадратный трёхчлен: \( x^2+5x-6 = (x+6)(x-1) \). Получаем: \( (1-x)(x+6)(x-1) \ge 0 \) \( \Rightarrow -(x-1)^2(x+6) \ge 0 \) \( \Rightarrow (x-1)^2(x+6) \le 0 \). Корни: \( x=1 \) (кратности 2), \( x=-6 \). Решение: \( x \in (-\infty; -6] \).

Ответ: 1) \( (-\infty; -5] \); 2) \( (-\infty; -5] \); 3) \( (-\infty; -6] \); 4) \( (-\infty; -4] \); 5) \( (-\infty; -7] \); 6) \( (-\infty; -6] \).