Задание №2. Ребро CD тетраэдра ABCD перпендикулярно к плоскости ABC, AB=BC=AC=6, BD=3√7. Найдите двугранные углы DACB, DABC, BDCA.

Решение:

Дано тетраэдр ABCD, где ребро CD перпендикулярно плоскости ABC. Известно, что AB = BC = AC = 6, и BD = 3√7.

Требуется найти двугранные углы DACB, DABC, BDCA.

1. Двугранный угол DACB:

Этот угол — угол между гранями DAC и ABC. Его линейный угол — угол ACB.

Так как треугольник ABC равносторонний со стороной 6, то \( < ACB = 60^\circ \).

По условию, CD ⊥ ABC. Следовательно, CD ⊥ AC и CD ⊥ BC.

Угол между гранями DAC и ABC равен углу между ребрами AC и BC, то есть \( < ACB = 60^\circ \).

2. Двугранный угол DABC:

Этот угол — угол между гранями DAB и ABC. Его линейный угол — угол ABD.

Рассмотрим треугольник BCD. Он прямоугольный, так как CD ⊥ BC. По теореме Пифагора:

\[ BD^2 = BC^2 + CD^2 \]

\[ (3\sqrt{7})^2 = 6^2 + CD^2 \]

\[ 63 = 36 + CD^2 \]

\[ CD^2 = 63 - 36 = 27 \]

\[ CD = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \]

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Мы знаем AB = 6, BD = 3√7, и CD = 3√3.

Для нахождения угла ABD, воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике ABD, если найдем AD. Для этого найдем AD в прямоугольном треугольнике ACD (так как CD ⊥ AC):

\[ AD^2 = AC^2 + CD^2 \]

\[ AD^2 = 6^2 + (3\sqrt{3})^2 = 36 + 27 = 63 \]

\[ AD = \sqrt{63} = 3\sqrt{7} \]

Итак, в треугольнике ABD стороны равны: AB = 6, BD = 3√7, AD = 3√7. Треугольник ABD — равнобедренный.

Применим теорему косинусов к треугольнику ABD для нахождения \( < ABD \):

\[ AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos(\u003C ABD) \]

\[ (3\sqrt{7})^2 = 6^2 + (3\sqrt{7})^2 - 2 \cdot 6 \cdot (3\sqrt{7}) \cdot \cos(\u003C ABD) \]

\[ 63 = 36 + 63 - 36\sqrt{7} \cdot \cos(\u003C ABD) \]

\[ 0 = 36 - 36\sqrt{7} \cdot \cos(\u003C ABD) \]

\[ 36\sqrt{7} \cdot \cos(\u003C ABD) = 36 \]

\[ \cos(\u003C ABD) = \frac{1}{\sqrt{7}} \]

\[ < ABD = \arccos(\frac{1}{\sqrt{7}}) \approx 67.79^\circ \]

3. Двугранный угол BDCA:

Этот угол — угол между гранями BCD и ACD. Его линейный угол — угол CDA.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. Мы знаем AC = 6, CD = 3√3, AD = 3√7.

Найдем \( < CDA \) с помощью теоремы косинусов в треугольнике ACD:

\[ AC^2 = CD^2 + AD^2 - 2 \cdot CD \cdot AD \cdot \cos(\u003C CDA) \]

\[ 6^2 = (3\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{7})^2 - 2 \cdot (3\sqrt{3}) \cdot (3\sqrt{7}) \cdot \cos(\u003C CDA) \]

\[ 36 = 27 + 63 - 18\sqrt{21} \cdot \cos(\u003C CDA) \]

\[ 36 = 90 - 18\sqrt{21} \cdot \cos(\u003C CDA) \]

\[ 18\sqrt{21} \cdot \cos(\u003C CDA) = 90 - 36 = 54 \]

\[ \cos(\u003C CDA) = \frac{54}{18\sqrt{21}} = \frac{3}{\sqrt{21}} = \frac{3\sqrt{21}}{21} = \frac{\sqrt{21}}{7} \]

\[ < CDA = \arccos(\frac{\sqrt{21}}{7}) \approx 58.92^\circ \]

Ответ: Двугранный угол DACB равен 60°, двугранный угол DABC равен \( < ABD = \arccos(\frac{1}{\sqrt{7}}) \), двугранный угол BDCA равен \( < CDA = \arccos(\frac{\sqrt{21}}{7}) \).