Задание 2. Представьте в виде дроби: a) \(3a + \frac{1 - 9a}{3a}\) b) \(\frac{2 + m}{1 + m} - \frac{m + 6}{m + 3}\) B) \(\frac{3a + b}{a^2 - ab} - \frac{3a + b}{ab - b^2}\)

Решение:

Задание 2.

а) Представим в виде дроби:

• Приведём \( 3a \) к знаменателю \( 3a \): \( 3a = \frac{3a \cdot 3a}{3a} = \frac{9a^2}{3a} \).
• Сложим дроби:
• \( \frac{9a^2}{3a} + \frac{1 - 9a}{3a} = \frac{9a^2 + 1 - 9a}{3a} = \frac{9a^2 - 9a + 1}{3a} \)

б) Представим в виде дроби:

• Приведём дроби к общему знаменателю \( (1 + m)(m + 3) \).
• \( \frac{2 + m}{1 + m} = \frac{(2 + m)(m + 3)}{(1 + m)(m + 3)} = \frac{2m + 6 + m^2 + 3m}{(1 + m)(m + 3)} = \frac{m^2 + 5m + 6}{(1 + m)(m + 3)} \)
• \( \frac{m + 6}{m + 3} = \frac{(m + 6)(1 + m)}{(m + 3)(1 + m)} = \frac{m + m^2 + 6 + 6m}{(1 + m)(m + 3)} = \frac{m^2 + 7m + 6}{(1 + m)(m + 3)} \)
• Вычтем вторую дробь из первой:
• \( \frac{m^2 + 5m + 6}{(1 + m)(m + 3)} - \frac{m^2 + 7m + 6}{(1 + m)(m + 3)} = \frac{m^2 + 5m + 6 - (m^2 + 7m + 6)}{(1 + m)(m + 3)} = \frac{m^2 + 5m + 6 - m^2 - 7m - 6}{(1 + m)(m + 3)} = \frac{-2m}{(1 + m)(m + 3)} \)

в) Представим в виде дроби:

• Разложим знаменатели на множители: \( a^2 - ab = a(a - b) \) и \( ab - b^2 = b(a - b) \).
• Общий знаменатель: \( ab(a - b) \).
• \( \frac{3a + b}{a^2 - ab} = \frac{(3a + b) \cdot b}{a(a - b) \cdot b} = \frac{3ab + b^2}{ab(a - b)} \)
• \( \frac{3a + b}{ab - b^2} = \frac{(3a + b) \cdot a}{b(a - b) \cdot a} = \frac{3a^2 + ab}{ab(a - b)} \)
• Вычтем вторую дробь из первой:
• \( \frac{3ab + b^2}{ab(a - b)} - \frac{3a^2 + ab}{ab(a - b)} = \frac{3ab + b^2 - (3a^2 + ab)}{ab(a - b)} = \frac{3ab + b^2 - 3a^2 - ab}{ab(a - b)} = \frac{2ab + b^2 - 3a^2}{ab(a - b)} \)

Ответ: а) \( \frac{9a^2 - 9a + 1}{3a} \); б) \( \frac{-2m}{(1 + m)(m + 3)} \); в) \( \frac{2ab + b^2 - 3a^2}{ab(a - b)} \).