Задание 2. Параллельные прямые а, b лежат в плоскости α. Докажите, что прямая с, пересекающая прямые а и b, также лежит в плоскости α.

Решение:

Дано: Прямые \( a \) и \( b \) параллельны, \( a \subset \alpha \), \( b \subset \alpha \). Прямая \( c \) пересекает прямую \( a \) в точке \( M \) и прямую \( b \) в точке \( N \).

Доказать: Прямая \( c \) лежит в плоскости \( \alpha \).

Доказательство:

1. Так как прямые \( a \) и \( b \) параллельны и обе лежат в плоскости \( \alpha \), то по определению параллельных плоскостей, все точки, принадлежащие этим прямым, принадлежат и плоскости \( \alpha \).
2. Прямая \( c \) пересекает прямую \( a \) в точке \( M \). Следовательно, точка \( M \) принадлежит как прямой \( c \), так и прямой \( a \).
3. Поскольку \( M \in a \) и \( a \subset \alpha \), то точка \( M \) принадлежит плоскости \( \alpha \) (\( M \in \alpha \)).
4. Аналогично, прямая \( c \) пересекает прямую \( b \) в точке \( N \). Следовательно, точка \( N \) принадлежит как прямой \( c \), так и прямой \( b \).
5. Поскольку \( N \in b \) и \( b \subset \alpha \), то точка \( N \) принадлежит плоскости \( \alpha \) (\( N \in \alpha \)).
6. Итак, прямая \( c \) проходит через две точки \( M \) и \( N \), которые принадлежат плоскости \( \alpha \).
7. Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.
8. Следовательно, прямая \( c \) лежит в плоскости \( \alpha \) (\( c \subset \alpha \)).

Что и требовалось доказать.