Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Введём координаты: пусть AB — горизонтальная сторона, а так как BD перпендикулярна AB, то зададим точки так:
\(A(0,0)\), \(B(a,0)\), \(D(a,h)\), \(C(2a,h)\).
Тогда \(AB=a\), а из условия \(AD=d\) получаем:
\[d=AD=\sqrt{a^2+h^2}.\]
Точка \(M\) — середина \(AD\), поэтому
\[M\left(\frac a2,\frac h2\right).\]
Прямая \(BM\) пересекает прямую \(CD\), имеющую уравнение \(y=h\), в точке \(K(0,h)\).
а) Доказательство.
В треугольнике \(ABM\):
\[AM=BM=\frac d2,\]
поэтому треугольник равнобедренный. Его центр вписанной окружности \(O_1\) лежит на высоте, проведённой к основанию \(AB\). Следовательно, абсцисса точки \(O_1\) равна \(\frac a2\):
\[O_1\left(\frac a2,r_1\right),\]
где \(r_1\) — радиус вписанной окружности.
Так как точки \(M\) и \(O_1\) имеют одинаковую абсциссу, прямая \(MO_1\) вертикальна. Прямая \(BD\) также вертикальна, поскольку \(B(a,0)\) и \(D(a,h)\). Поэтому
\[\boxed{MO_1\parallel BD}.\]
б) Нахождение площади.
Площадь треугольника \(ABM\):
\[S_{ABM}=\frac{ah}{4}.\]
Его полупериметр равен
\[p_1=\frac{AB+AM+BM}{2}=\frac{a+d}{2}.\]
Следовательно, радиус первой вписанной окружности:
\[r_1=\frac{S_{ABM}}{p_1}=\frac{ah}{2(a+d)}.\]
В треугольнике \(BCK\) имеем \(BC=BK=d\), \(CK=2a\). Его площадь равна \(ah\), а полупериметр — \(a+d\). Поэтому
\[r_2=\frac{ah}{a+d}=2r_1.\]
Центры окружностей имеют координаты:
\[O_1\left(\frac a2,r_1\right),\qquad O_2(a,h-r_2).\]
По условию \(a=6\), \(d=10\). Из равенства \(d^2=a^2+h^2\):
\[h=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8.\]
Тогда
\[r_1=\frac{6\cdot8}{2(6+10)}=\frac32,\qquad r_2=3.\]
Четырёхугольник \(BO_1MO_2\) является трапецией. Его параллельные стороны:
\[BO_2=h-r_2=8-3=5,\]
\[O_1M=\frac h2-r_1=4-\frac32=\frac52.\]
Расстояние между параллельными сторонами равно расстоянию между прямыми \(x=a\) и \(x=\frac a2\):
\[H=a-\frac a2=\frac a2=3.\]
Следовательно, площадь трапеции:
\[S_{BO_1MO_2}=\frac{BO_2+O_1M}{2}\cdot H=\frac{5+\frac52}{2}\cdot3=\frac{15}{4}\cdot3=\frac{45}{4}.\]
Ответ: \(\boxed{S_{BO_1MO_2}=\frac{45}{4}=11{,}25}\).
