Задание 2. Дан равнобедренный треугольник АВС. Биссектрисы АК и CD углов при основании АС пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОС — равнобедренный. (Обязательно сделать полное оформление: чертеж, дано, доказательство).

Доказательство:

1. Так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный (AB = BC), то углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA \).


2. AK — биссектриса \( \angle BAC \), значит, \( \angle BAO = \angle OAC = \frac{1}{2} \angle BAC \).


3. CD — биссектриса \( \angle BCA \), значит, \( \angle BCD = \angle OCD = \frac{1}{2} \angle BCA \).


4. Поскольку \( \angle BAC = \angle BCA \), то и их половины равны: \( \angle OAC = \angle OCD \).


5. Рассмотрим \( \triangle AOC \). Углы \( \angle OAC \) и \( \angle OCA \) являются углами при основании AC.


6. Нам нужно доказать, что \( \angle OAC = \angle OCA \) для того, чтобы \( \triangle AOC \) был равнобедренным.


7. Из равенства \( \angle OAC = \angle OCD \) следует, что \( \angle OAC = \angle OCA \) (так как \( \angle OCA = \angle OCD \)).


8. Следовательно, \( \triangle AOC \) имеет два равных угла при основании AC, а значит, он является равнобедренным.

Ответ: Треугольник AOC является равнобедренным.