Задание 18. Найдите углы α, β, γ, используя данные, указанные на рисунке.

Решение:

1) Углы α и 40° являются смежными. Сумма смежных углов равна 180°.

• \[ \alpha + 40° = 180° \]
• \[ \alpha = 180° - 40° \]
• \[ \alpha = 140° \]

Ответ: 140°

2) Углы β и 130° являются смежными. Сумма смежных углов равна 180°.

• \[ \beta + 130° = 180° \]
• \[ \beta = 180° - 130° \]
• \[ \beta = 50° \]

Ответ: 50°

3) Угол γ и 25° являются вертикальными. Вертикальные углы равны.

• \[ \gamma = 25° \]

Ответ: 25°

4) Углы γ и 30° являются вертикальными, поэтому \[ \gamma = 30° \]. Углы α и 30° являются смежными. Углы α и γ также смежные. Углы β и 30° являются смежными.

• \[ \gamma = 30° \]
• \[ \alpha + 30° = 180° \]
• \[ \alpha = 180° - 30° \]
• \[ \alpha = 150° \]
• \[ \beta + \alpha = 180° \]
• \[ \beta + 150° = 180° \]
• \[ \beta = 180° - 150° \]
• \[ \beta = 30° \]

Ответ: 150°, 30°, 30°

5) Угол α и 135° являются смежными. Сумма смежных углов равна 180°.

• \[ \alpha + 135° = 180° \]
• \[ \alpha = 180° - 135° \]
• \[ \alpha = 45° \]

Углы β и 135° являются вертикальными. Вертикальные углы равны.

• \[ \beta = 135° \]

Угол γ и α являются вертикальными. Вертикальные углы равны.

• \[ \gamma = \alpha \]
• \[ \gamma = 45° \]

Ответ: 45°, 135°, 45°

6) Угол α является частью прямого угла (180°). Угол α и прямой угол (90°) являются смежными.

• \[ \alpha + 90° = 180° \]
• \[ \alpha = 180° - 90° \]
• \[ \alpha = 90° \]

Ответ: 90°

7) Углы α, β, γ образуют полный угол (360°), но также α и 90° являются смежными, β и γ являются смежными.

• \[ \alpha + 90° = 180° \]
• \[ \alpha = 180° - 90° \]
• \[ \alpha = 90° \]
• \[ \beta + \gamma = 180° \]
• \[ \alpha + \beta + \gamma + 90° = 360° \]
• \[ 90° + \beta + \gamma + 90° = 360° \]
• \[ \beta + \gamma = 180° \]
• Так как β и γ являются вертикальными углами, то \[ \beta = \gamma \].
• \[ \beta + \beta = 180° \]
• \[ 2\beta = 180° \]
• \[ \beta = 90° \]
• \[ \gamma = 90° \]

Ответ: 90°, 90°, 90°

8) Углы α и γ являются вертикальными. Углы β и γ являются смежными.

• \[ \beta + \gamma = 180° \]
• Углы α и β являются смежными.
• \[ \alpha + \beta = 180° \]
• Так как \[ \alpha = \gamma \], то \[ \beta + \alpha = 180° \].
• \[ \alpha + \beta = 180° \]
• \[ \beta + \gamma = 180° \]
• \[ \alpha = \gamma \]
• \[ \alpha + \gamma + \alpha + \gamma = 360° \]
• \[ 2\alpha + 2\gamma = 360° \]
• \[ \alpha + \gamma = 180° \]
• Так как \[ \alpha = \gamma \], то \[ \alpha = 90°, \gamma = 90° \].
• \[ \beta + 90° = 180° \]
• \[ \beta = 90° \]

Ответ: 90°, 90°, 90°

9) Угол β и 140° являются смежными. Сумма смежных углов равна 180°.

• \[ \beta + 140° = 180° \]
• \[ \beta = 180° - 140° \]
• \[ \beta = 40° \]

Ответ: 40°

10) Углы α и γ являются вертикальными. Углы β и α являются смежными.

• \[ \beta + \alpha = 180° \]
• \[ \alpha = \gamma \]
• \[ \beta + \gamma = 180° \]
• \[ \alpha + \gamma = 180° \]
• \[ \alpha + \alpha = 180° \]
• \[ 2\alpha = 180° \]
• \[ \alpha = 90° \]
• \[ \gamma = 90° \]
• \[ \beta + 90° = 180° \]
• \[ \beta = 90° \]

Ответ: 90°, 90°, 90°