[Задание 17.5] Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 4 и 6. Найдите меньшее основание трапеции.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция \( ABCD \), где \( AB \) — меньшее основание, \( CD \) — большее основание. Проведём высоту \( BH \) из вершины \( B \) на основание \( CD \).

Так как трапеция равнобедренная, то отрезки, на которые высота делит большее основание, имеют длину \( DH \) и \( HC \).

Высота, проведённая из конца меньшего основания, делит большее основание на отрезки. В равнобедренной трапеции из вершины тупого угла (например, \( C \) или \( D \)) высота, опущенная на большее основание, отсекает отрезок, равный полуразности оснований. Из вершины острого угла (например, \( D \) или \( C \)) высота отсекает отрезок, равный полусумме оснований.

Более простой случай: проведём две высоты из вершин меньшего основания \( AB \) на большее основание \( CD \). Пусть это будут \( AH_1 \) и \( BH_2 \).

Тогда \( AH_1 = BH_2 \) (высоты). \( H_1 H_2 = AB \) (стороны прямоугольника \( ABH_2H_1 \)).

Так как трапеция равнобедренная, то \( DH_1 = H_2C = \frac{CD - AB}{2} \).

В условии сказано, что высота, проведённая из *конца* меньшего основания, делит большее основание на отрезки 4 и 6. Это означает, что одна из вершин меньшего основания, например \( B \), и точка на большем основании \( H \) такие, что \( BH \) — высота. Отрезки на большем основании — \( DH \) и \( HC \).

Если высота проведена из вершины \( B \) к основанию \( CD \), то она делит \( CD \) на отрезки \( DH \) и \( HC \). Здесь \( H \) — точка на \( CD \).

В равнобедренной трапеции, если провести высоту из вершины угла при большем основании, то отрезки на большем основании будут \( DH \) и \( HC \). Отрезок \( DH \) равен \( \frac{CD - AB}{2} \). Отрезок \( HC \) равен \( CD - DH = CD - \frac{CD - AB}{2} = \frac{2CD - CD + AB}{2} = \frac{CD + AB}{2} \).

Либо, если высота проведена из вершины меньшего основания, то она делит большее основание на два отрезка. Рассмотрим рисунок, где из \( B \) опущена высота \( BH \) на \( CD \). Отрезки, на которые делит большее основание \( CD \), это \( DH \) и \( HC \).

В равнобедренной трапеции \( ABCD \), \( AB \parallel CD \), \( AD=BC \). Проведём высоты \( AH \) и \( BK \) из \( A \) и \( B \) на \( CD \).

\( AH = BK \). \( H K = AB \). \( DH = KC = \frac{CD - AB}{2} \).

В условии сказано: "высота ... проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 4 и 6".

Это означает, что \( DH = 4 \) и \( HC = 6 \), или наоборот. Или \( CD = DH + HC \).

Однако, если мы проводим высоту из вершины \( B \) на \( CD \), то точка \( H \) оказывается на \( CD \). Отрезки \( DH \) и \( HC \) в сумме дают \( CD \).

Рассмотрим случай, когда высота \( BH \) делит \( CD \) на отрезки \( DH=4 \) и \( HC=6 \). Тогда \( CD = 4+6=10 \).

Если \( DH = 4 \) и \( HC = 6 \), то \( DH = \frac{CD - AB}{2} \).

\( 4 = \frac{10 - AB}{2} \).

\( 8 = 10 - AB \).

\( AB = 10 - 8 = 2 \).

Меньшее основание равно 2.

Если же \( DH = 6 \) и \( HC = 4 \), то \( CD = 6+4=10 \).

\( DH = \frac{CD - AB}{2} \).

\( 6 = \frac{10 - AB}{2} \).

\( 12 = 10 - AB \).

\( AB = 10 - 12 = -2 \). Это невозможно.

Значит, отрезок, прилежащий к боковой стороне, который равен \( \frac{CD - AB}{2} \), должен быть меньше.

Проверим, как именно делит высота. Если мы опускаем высоту из \( B \) на \( CD \), то точка \( H \) лежит на \( CD \). Отрезки \( DH \) и \( HC \) в сумме дают \( CD \).

В равнобедренной трапеции \( ABCD \) с основаниями \( AB \) и \( CD \) (\( AB

У нас отрезки равны 4 и 6. Значит, \( CD = 4+6 = 10 \).

Вариант 1: \( DH = 4 \) и \( HC = 6 \).

\( DH = \frac{10 - AB}{2} = 4 \).

\( 10 - AB = 8 \).

\( AB = 2 \).

Вариант 2: \( DH = 6 \) и \( HC = 4 \).

\( DH = \frac{10 - AB}{2} = 6 \).

\( 10 - AB = 12 \).

\( AB = -2 \) (невозможно).

Таким образом, меньшее основание равно 2.

Ответ: 2.