Задание 17.2] Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 35°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом, делят друг друга пополам и являются биссектрисами его углов.

Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей, \( AB \) — сторона ромба, \( AO \) и \( BO \) — половины диагоналей.

Перпендикуляр, опущенный из \( O \) на сторону \( AB \), образует с диагональю \( AO \) угол \( 35^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( Δ \) \( AOC \) (где \( C \) — вершина ромба, \( ∠ \) \( AOC = 90^{\circ} \)).

В \( Δ \) \( AOC \) диагонали пересекаются в точке \( O \). Пусть \( AO \) — одна диагональ, \( BO \) — другая. Опустим перпендикуляр \( OH \) из \( O \) на сторону \( AB \). По условию, \( ∠ \) \( HOA = 35^{\circ} \).

Диагонали ромба делят его углы пополам. Следовательно, \( ∠ \) \( OAB = 2 · ∠ \) \( HOA \) или \( ∠ \) \( OAB = 2 · ∠ \) \( HAB \).

В прямоугольном треугольнике \( Δ \) \( AOB \), \( ∠ \) \( OAB + ∠ \) \( ABO = 90^{\circ} \).

Угол \( ∠ \) \( HAB = 35^{\circ} \) (как угол между диагональю и перпендикуляром к стороне).

Угол \( ∠ \) \( OAB \) — это половина острого угла ромба. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, поэтому \( ∠ \) \( AOB = 90^{\circ} \).

В треугольнике \( Δ \) \( AOB \): \( ∠ \) \( OAB + ∠ \) \( ABO = 90^{\circ} \).

Перпендикуляр \( OH \) из \( O \) на \( AB \) образует с диагональю \( AO \) угол \( 35^{\circ} \). В прямоугольном треугольнике \( Δ \) \( HOA \), \( ∠ \) \( OHA = 90^{\circ} \).

Угол \( ∠ \) \( OAH \) (или \( ∠ \) \( OAB \)) равен \( 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ} \).

Так как \( AO \) — половина диагонали, то \( ∠ \) \( OAB \) — это половина острого угла ромба. Значит, острый угол ромба равен \( 2 · 55^{\circ} = 110^{\circ} \).

Проверка:

В прямоугольном треугольнике \( Δ \) \( AOB \): \( ∠ \) \( AOB = 90^{\circ} \).

Если острый угол ромба \( 110^{\circ} \), то \( ∠ \) \( OAB = 110^{\circ} / 2 = 55^{\circ} \).

Тогда \( ∠ \) \( ABO = 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ} \).

Перпендикуляр \( OH \) из \( O \) на \( AB \). В прямоугольном \( Δ \) \( HOA \), \( ∠ \) \( OHA = 90^{\circ} \).

Угол между диагональю \( AO \) и перпендикуляром \( OH \) будет \( ∠ \) \( HOA = 90^{\circ} - ∠ \) \( OAH = 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ} \).

Это соответствует условию задачи.

Ответ: острый угол ромба составляет 110°.