Задание 16 Алгоритм вычисления значения функции F(n), где п — натуральное число, задан следующими соотношениями: F(n) = 1 при n = 1; F(n)=n × F(n-1), если n > 1. Чему равно значение выражения (F(3238)/2+F(3237)) / F(3236)?

Решение:

Функция задана рекуррентно: \( F(n) = n \times F(n-1) \) для \( n > 1 \) и \( F(1) = 1 \).

Рассмотрим первые значения функции:

• \( F(1) = 1 \)
• \( F(2) = 2 \times F(1) = 2 \times 1 = 2 \)
• \( F(3) = 3 \times F(2) = 3 \times 2 = 6 \)
• \( F(4) = 4 \times F(3) = 4 \times 6 = 24 \)

Заметим, что \( F(n) \) является факториалом числа \( n \), то есть \( F(n) = n! \).

Теперь подставим это в выражение:

\( \frac{F(3238)}{2} + F(3237) / F(3236) \)

Используя \( F(n) = n! \):

\( = \frac{3238!}{2} + \frac{3237!}{3236!} \)

Упростим второе слагаемое:

\( \frac{3237!}{3236!} = \frac{3237 \times 3236!}{3236!} = 3237 \)

Теперь выражение выглядит так:

\( = \frac{3238!}{2} + 3237 \)

Заметим, что \( 3238! = 3238 \times 3237! \).

\( = \frac{3238 \times 3237!}{2} + 3237 \)

\( = 1619 \times 3237! + 3237 \)

Вынесем \( 3237 \) за скобки:

\( = 3237 \times (1619 \times 3237! / 3237 + 1) \)

Это не соответствует начальному выражению. Давайте перепишем выражение, внимательно расставив скобки:

\( \frac{F(3238)}{2} + F(3237) / F(3236) \)

Это может быть интерпретировано как \( \frac{F(3238)}{2} + \frac{F(3237)}{F(3236)} \) ИЛИ \( \frac{F(3238)/2 + F(3237)}{F(3236)} \).

Судя по скобкам в вопросе `(F(3238)/2+F(3237)) / F(3236)`, вторая интерпретация верна:

\( \frac{\frac{F(3238)}{2} + F(3237)}{F(3236)} \)

Подставляем \( F(n) = n! \):

\( = \frac{\frac{3238!}{2} + 3237!}{3236!} \)

Разделим числитель и знаменатель на \( 3236! \):

\( = \frac{\frac{3238!}{2 \times 3236!} + \frac{3237!}{3236!}}{\frac{3236!}{3236!}} \)

Упростим:

\( \frac{3238!}{3236!} = \frac{3238 \times 3237 \times 3236!}{3236!} = 3238 \times 3237 \)

\( \frac{3237!}{3236!} = 3237 \)

\( \frac{3236!}{3236!} = 1 \)

Подставляем обратно:

\( = \frac{\frac{3238 \times 3237}{2} + 3237}{1} \)

\( = \frac{3238 \times 3237}{2} + 3237 \)

\( = 1619 \times 3237 + 3237 \)

Вынесем \( 3237 \) за скобки:

\( = 3237 \times (1619 + 1) \)

\( = 3237 \times 1620 \)

Вычислим произведение:

\( 3237 \times 1620 = 5244000 - 32370 + 64740 = 5244000 + 32370 = 5276370 \)

Проверим вычисление:

\( 3237 \times 1620 = 3237 \times (1600 + 20) = 3237 \times 1600 + 3237 \times 20 \)

\( 3237 \times 16 = 51792 \implies 3237 \times 1600 = 5179200 \)

\( 3237 \times 20 = 64740 \)

\( 5179200 + 64740 = 5243940 \)

Повторная проверка:

\( 3237 \times 1620 = 5243940 \)

Ответ: 5243940