Задание 16. Решите неравенство \(\frac{x^2+3x-6}{x^2-9}\le\frac{x+4}{x+3}+\frac{1}{x-2}\).

ОДЗ: \(x\ne -3\), \(x\ne 2\), \(x\ne 3\).

Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём первые два дробных выражения к общему знаменателю:

\[\frac{x^2+3x-6}{(x-3)(x+3)}-\frac{x+4}{x+3}-\frac{1}{x-2}\le 0.\]

\[\frac{x^2+3x-6-(x+4)(x-3)}{(x-3)(x+3)}-\frac{1}{x-2}\le 0.\]

Так как \((x+4)(x-3)=x^2+x-12\), получаем:

\[\frac{2x+6}{(x-3)(x+3)}-\frac{1}{x-2}\le 0.\]

При \(x\ne -3\) сокращаем множитель \(x+3\):

\[\frac{2}{x-3}-\frac{1}{x-2}\le 0.\]

Приведём к общему знаменателю:

\[\frac{2(x-2)-(x-3)}{(x-3)(x-2)}\le 0,\]

\[\frac{x-1}{(x-3)(x-2)}\le 0.\]

Критические точки: \(-3\) — выколотая точка из ОДЗ, \(1\) — нуль числителя, \(2\) и \(3\) — нули знаменателя.

Методом интервалов получаем: на \((-,-3)\) выражение отрицательно, на \((-3,1]\) — отрицательно или равно нулю, на \((2,3)\) — отрицательно.

Ответ: \(x\in(-\infty;-3)\cup(-3;1]\cup(2;3)\).