Задание 16. Основание прямоугольного параллелепипеда - квадрат. Найдите объём параллелепипеда, если его высота равна 10 см, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°.

Решение:

1. Обозначим основание параллелепипеда как квадрат ABCD, а вершину над ним как A₁B₁C₁D₁. Высота параллелепипеда AA₁ = 10 см.
2. Диагональ параллелепипеда — это отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Например, AC₁ является диагональю.
3. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания — это угол между диагональю AC₁ и её проекцией на плоскость основания, то есть диагональю AC. Таким образом, \( \angle C_1AC = 45^{\circ} \).
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle AAC_1 \), где \( \angle A = 90^{\circ} \). В этом треугольнике катет AA₁ (высота) противолежит углу \( \angle AC_1A \), а катет AC является прилежащим к углу \( \angle C_1AC \).
5. По определению тангенса угла в прямоугольном треугольнике: \( \text{tg}(\angle C_1AC) = \frac{AA_1}{AC} \).
6. Подставим известные значения: \( \text{tg}(45^{\circ}) = \frac{10}{AC} \).
7. Так как \( \text{tg}(45^{\circ}) = 1 \), получаем \( 1 = \frac{10}{AC} \), откуда \( AC = 10 \) см.
8. AC — это диагональ квадрата ABCD. По теореме Пифагора для квадрата: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \). Так как AB = BC (стороны квадрата), то \( AC^2 = 2 AB^2 \).
9. Подставим значение AC: \( 10^2 = 2 AB^2 \) → \( 100 = 2 AB^2 \) → \( AB^2 = 50 \).
10. Площадь основания квадрата S = \( AB^2 \) = 50 см².
11. Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: \( V = S_{\text{осн}} \times h \), где \( S_{\text{осн}} \) — площадь основания, а \( h \) — высота.
12. Подставим значения: \( V = 50 \text{ см}^2 \times 10 \text{ см} = 500 \text{ см}^3 \).

Ответ: 500 см³.