Задание 16.3. Диагональ АС ромба ABCD равна 16, a tg BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( BOC \), где \( O \) — точка пересечения диагоналей.

1. Находим половину диагонали AC: \( AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8 \).
2. Находим половину диагонали BD: В треугольнике \( BOC \): \( \text{tg } ∠BCA = \frac{BO}{OC} \). Отсюда \( BO = OC · \text{tg } ∠BCA = 8 · 0,75 = 6 \).
3. Находим диагональ BD: \( BD = 2 · BO = 2 · 6 = 12 \).
4. Находим сторону ромба AB: По теореме Пифагора в \( △ BOC \): \( AB^2 = BO^2 + OC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \). Следовательно, \( AB = √100 = 10 \).
5. Находим радиус вписанной окружности: Радиус вписанной окружности в ромб равен половине высоты ромба. Высота ромба \( h \) может быть найдена из формулы площади ромба: \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = AB · h \).
6. Площадь ромба: \( S = \frac{1}{2} · 16 · 12 = 96 \).
7. Высота ромба: \( h = \frac{S}{AB} = \frac{96}{10} = 9,6 \).
8. Радиус вписанной окружности: \( r = \frac{h}{2} = \frac{9,6}{2} = 4,8 \).

Ответ: 4,8