Задание 14. Исследуйте функцию f(x)= -x³+4x²-4x с помощью производной и найдите: а) промежутки возрастания и убывания; б) точки экстремума и их характер (максимум или минимум).

Решение:

Исследуем функцию \( f(x) = -x^3 + 4x^2 - 4x \).

а) Промежутки возрастания и убывания:

Найдем производную функции:

\[ f'(x) = (-x^3 + 4x^2 - 4x)' \]\[ f'(x) = -3x^2 + 8x - 4 \]

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\[ -3x^2 + 8x - 4 = 0 \]\[ 3x^2 - 8x + 4 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16 \]\[ \sqrt{D} = 4 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

Критические точки: \( x = \frac{2}{3} \) и \( x = 2 \). Они разбивают числовую ось на три интервала: \( (-\infty, \frac{2}{3}) \), \( (\frac{2}{3}, 2) \), \( (2, +\infty) \).

Определим знак производной на каждом интервале:

• При \( x < \frac{2}{3} \) (например, \( x = 0 \)): \( f'(0) = -3(0)^2 + 8(0) - 4 = -4 < 0 \). Функция убывает.
• При \( \frac{2}{3} < x < 2 \) (например, \( x = 1 \)): \( f'(1) = -3(1)^2 + 8(1) - 4 = -3 + 8 - 4 = 1 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \( f'(3) = -3(3)^2 + 8(3) - 4 = -27 + 24 - 4 = -7 < 0 \). Функция убывает.

Промежутки возрастания: \( [\frac{2}{3}, 2] \).

Промежутки убывания: \( (-\infty, \frac{2}{3}] \) и \( [2, +\infty) \).

б) Точки экстремума и их характер:

В точке \( x = \frac{2}{3} \) производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.

В точке \( x = 2 \) производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума.

Найдем значения функции в этих точках:

Минимум в точке \( x = \frac{2}{3} \):

\[ f(\frac{2}{3}) = -(\frac{2}{3})^3 + 4(\frac{2}{3})^2 - 4(\frac{2}{3}) \]\[ f(\frac{2}{3}) = -\frac{8}{27} + 4(\frac{4}{9}) - \frac{8}{3} \]\[ f(\frac{2}{3}) = -\frac{8}{27} + \frac{16}{9} - \frac{8}{3} \]\[ f(\frac{2}{3}) = \frac{-8 + 48 - 72}{27} = \frac{-32}{27} \]

Максимум в точке \( x = 2 \):

\[ f(2) = -(2)^3 + 4(2)^2 - 4(2) \]\[ f(2) = -8 + 4(4) - 8 \]\[ f(2) = -8 + 16 - 8 = 0 \]

Точка минимума: \( (\frac{2}{3}, -\frac{32}{27}) \).

Точка максимума: \( (2, 0) \).