Задание 12. ABCD — прямоугольник. Найдите углы α и β, используя данные рисунка: 1) в прямоугольнике ABCD проведена диагональ AC, угол CAD = 40°; 2) проведена диагональ BD, угол BDA = 56°; 3) проведена диагональ AC, угол ACD = 70°; 4) проведена диагональ AC, угол BAC = 37°; 5) диагонали AC и BD пересекаются в точке O, угол ABO = 70°; 6) диагонали пересекаются в точке O, угол BCO = 25°; 7) диагонали пересекаются в точке O, угол AOB = 30°; 8) на рисунке отмечено AB = AO = BO; 9) угол BOC = 130°; 10) угол OCD = 50°, OH перпендикулярна AD; 11) диагонали пересекаются в O, CK = KD, OK перпендикулярна CD, угол ABO = 52°; 12) диагонали пересекаются в O, AM = MD, OP перпендикулярна CD, угол ABD = 60°. Во всех случаях ABCD — прямоугольник.

В прямоугольнике каждый угол равен 90°, противоположные стороны параллельны, а диагонали образуют равные углы с параллельными сторонами.

1. Угол при A разделён диагональю AC: α + 40° = 90°. Поэтому α = 50°. Угол β равен углу CAD как углы при параллельных сторонах: β = 40°.
2. Угол при D разделён диагональю BD: 56° + угол BDA? Диагональ образует с вертикальной стороной угол 56°, поэтому с горизонтальной стороной угол равен 90° − 56° = 34°. Следовательно, α = 34°, β = 56°.
3. Угол между AC и вертикальной стороной CD равен 70°, поэтому угол между AC и горизонтальной стороной AD равен 90° − 70° = 20°. Тогда α = 70°, а β = 90°.
4. Угол при A разделён диагональю AC: 37° + β = 90°. Поэтому β = 53°. Угол α при C равен углу между AC и вертикальной стороной, то есть α = 37°.
5. Диагональ образует с вертикальной стороной угол 70°, поэтому угол с горизонтальной стороной равен 20°. Следовательно, α = 70°, β = 70°.
6. Диагональ AC образует с горизонтальной стороной угол 25°. Диагональ BD образует такой же угол с горизонтальной стороной. Поэтому угол между лучами OA и OB равен 25° + 25° = 50°. Значит, α = 50°, β = 25°.
7. Угол между диагоналями слева равен 30°. Диагонали симметричны относительно горизонтального направления, поэтому каждая образует с горизонтальной стороной угол 30° : 2 = 15°. Значит, α = 15°, а β = 90° − 15° = 75°.
8. Так как AB = AO = BO, треугольник AOB равносторонний. Поэтому угол BAO = 60°. Тогда β = 180° − 60° = 120°. Угол α дополняет угол BAO до прямого угла: α = 90° − 60° = 30°.
9. Вертикальный угол AOD равен углу BOC: AOD = 130°. Соседние углы при пересечении прямых в сумме дают 180°, поэтому α = 180° − 130° = 50°. Диагональ AC образует с вертикальной стороной угол β = 50° : 2? Из равенства углов диагоналей с горизонталью: каждый диагональный наклон равен 65°, поэтому с вертикалью β = 90° − 65° = 25°.
10. Угол между AC и вертикальной стороной CD равен 50°, поэтому угол между AC и горизонтальной стороной AD равен β = 90° − 50° = 40°. Так как OH перпендикулярна AD, α = 90° − 40° = 50°.
11. Угол между BD и вертикальной стороной BA равен 52°, поэтому угол между BD и горизонталью равен 90° − 52° = 38°. Следовательно, α = 38° и β = 38°.
12. Угол между BD и вертикальной стороной BA равен 60°, поэтому диагональ BD образует с горизонталью угол 30°. Диагонали прямоугольника симметричны, поэтому угол между AC и горизонталью также равен 30°. Тогда β = 30°, а α = 90° − 30° = 60°.

Ответ: 1) α = 50°, β = 40°; 2) α = 34°, β = 56°; 3) α = 70°, β = 90°; 4) α = 37°, β = 53°; 5) α = 70°, β = 70°; 6) α = 50°, β = 25°; 7) α = 15°, β = 75°; 8) α = 30°, β = 120°; 9) α = 50°, β = 25°; 10) α = 50°, β = 40°; 11) α = 38°, β = 38°; 12) α = 60°, β = 30°.