Задание 11. Тренинг Найдите корень уравнения (1/8)^(2x-7) * (1/8)^(1-6x) = 64.

Привет! Давай разберемся с этим показательным уравнением. Не пугайся дробей и степеней, сейчас все станет понятно!

1. Приводим основания к одному виду: Мы видим, что у нас есть основания 1/8 и 64. Нам нужно привести их к одному основанию. Помни, что \[\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}\] и \[64 = 2^6\]
2. Используем свойства степеней: Теперь подставим это в наше уравнение и вспомним правило умножения степеней с одинаковым основанием: $$a^m \times a^n = a^{m+n}$$.
• \[(2^{-3})^{2x-7} \times (2^{-3})^{1-6x} = 2^6\]
• \[2^{-3(2x-7)} \times 2^{-3(1-6x)} = 2^6\]
• \[2^{-6x+21} \times 2^{-3+18x} = 2^6\]
• \[2^{-6x+21 -3+18x} = 2^6\]
• \[2^{12x+18} = 2^6\]
3. Приравниваем показатели: Когда основания одинаковые, мы можем просто приравнять показатели степеней.
• \[12x + 18 = 6\]
4. Решаем линейное уравнение: Теперь решаем обычное линейное уравнение.
• \[12x = 6 - 18\]
• \[12x = -12\]
• \[x = \frac{-12}{12}\]
• \[x = -1\]

Проверка: Подставим x = -1 в исходное уравнение:

• \[\left(\frac{1}{8}\right)^{2(-1)-7} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{1-6(-1)} = \left(\frac{1}{8}\right)^{-2-7} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{1+6} = \left(\frac{1}{8}\right)^{-9} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{7} = \left(\frac{1}{8}\right)^{-9+7} = \left(\frac{1}{8}\right)^{-2} = (8^{-1})^{-2} = 8^2 = 64\]

Все сходится!

Ответ: -1