Задание 11. Сравните значения выражений, не вычисляя их:

Решение:

Для сравнения выражений мы можем попытаться привести их к общему виду или использовать свойства чисел.

1. \( \frac{1}{25} \) и \( \frac{1}{503} \). Так как знаменатель \( 25 \) меньше \( 503 \), то \( \frac{1}{25} > \frac{1}{503} \).
2. \( -20.95 \) и \( 0.001 \). Отрицательное число всегда меньше положительного.
3. \( 1.368 \) и \( 1.37 \). \( 1.37 = 1.370 \), значит \( 1.368 < 1.37 \).
4. \( -2.62 \) и \( -1.07 \). Так как \( -2.62 \) дальше от нуля, чем \( -1.07 \), то \( -2.62 < -1.07 \).
5. \( \frac{1}{2} \) и \( \frac{1}{3} \). Так как знаменатель \( 2 \) меньше \( 3 \), то \( \frac{1}{2} > \frac{1}{3} \).
6. \( \frac{2}{3} \) и \( \frac{5}{12} \). Приведем к общему знаменателю \( 12 \): \( \frac{2}{3} = \frac{8}{12} \). Так как \( 8 > 5 \), то \( \frac{8}{12} > \frac{5}{12} \).
7. \( \frac{13}{29} \) и \( \frac{3}{5} \). Приведем к общему знаменателю \( 29 \cdot 5 = 145 \): \( \frac{13 \cdot 5}{29 \cdot 5} = \frac{65}{145} \) и \( \frac{3 \cdot 29}{5 \cdot 29} = \frac{87}{145} \). Так как \( 65 < 87 \), то \( \frac{13}{29} < \frac{3}{5} \).
8. \( \frac{6}{7} \) и \( \frac{36}{42} \). Упростим второе дробь: \( \frac{36}{42} = \frac{6 \cdot 6}{7 \cdot 6} = \frac{6}{7} \). Выражения равны.
9. \( -\frac{1}{15} \) и \( -\frac{1}{16} \). Так как \( 15 < 16 \), то \( \frac{1}{15} > \frac{1}{16} \). Тогда \( -\frac{1}{15} < -\frac{1}{16} \).
10. \( -5\frac{35}{71} \) и \( -2\frac{1}{2} \). Отрицательные числа: \( -5\frac{35}{71} < -2\frac{1}{2} \) т.к. \( -5 \) меньше \( -2 \).
11. \( 3\frac{126}{253} \) и \( 3\frac{63}{125} \). Сравним дробные части: \( \frac{126}{253} \) и \( \frac{63}{125} \). \( 126 \cdot 125 = 15750 \) и \( 63 \cdot 253 = 15939 \). Так как \( 15750 < 15939 \), то \( \frac{126}{253} < \frac{63}{125} \).
12. \( \frac{12}{17} \) и \( 1.2 \). \( 1.2 = \frac{12}{10} \). Приведем к общему знаменателю \( 170 \): \( \frac{12 \cdot 10}{17 \cdot 10} = \frac{120}{170} \) и \( \frac{12 \cdot 17}{10 \cdot 17} = \frac{204}{170} \). Так как \( 120 < 204 \), то \( \frac{12}{17} < 1.2 \).
13. \( \frac{11}{2} \) и \( 4.95 \). \( \frac{11}{2} = 5.5 \). Так как \( 5.5 > 4.95 \), то \( \frac{11}{2} > 4.95 \).
14. \( \frac{1}{9} \) и \( -20.1 \). Положительное число больше отрицательного.
15. \( -\frac{1}{4} \) и \( -0.26 \). \( -0.26 = - \frac{26}{100} = - \frac{13}{50} \). Сравним \( -\frac{1}{4} \) и \( -\frac{13}{50} \). \( -0.25 \) и \( -0.26 \). Так как \( -0.25 > -0.26 \), то \( -\frac{1}{4} > -0.26 \).
16. \( \frac{3}{2} \) и \( 1.5 \). \( \frac{3}{2} = 1.5 \). Выражения равны.
17. \( 2.5 \) и \( 2\frac{13}{26} \). \( 2\frac{13}{26} = 2\frac{1}{2} = 2.5 \). Выражения равны.
18. \( -1 \) и \( -\frac{17}{16} \). \( -1 = -\frac{16}{16} \). Так как \( -16 > -17 \), то \( -\frac{16}{16} > -\frac{17}{16} \).
19. \( 1 \) и \( \frac{12}{13} \). Так как \( 1 > \frac{12}{13} \), то \( 1 > \frac{12}{13} \).
20. \( 0 \) и \( -20 \). \( 0 > -20 \).
21. \( \frac{1}{2} \) и \( \frac{1}{10} \). \( \frac{1}{2} > \frac{1}{10} \).
22. \( \frac{2}{5} \) и \( \frac{3}{7} \). \( 2 \cdot 7 = 14 \), \( 3 \cdot 5 = 15 \). \( 14 < 15 \), значит \( \frac{2}{5} < \frac{3}{7} \).
23. \( 4\frac{2}{3} \) и \( 4\frac{3}{7} \). \( \frac{2}{3} = \frac{14}{21} \), \( \frac{3}{7} = \frac{9}{21} \). \( 14 > 9 \), значит \( 4\frac{2}{3} > 4\frac{3}{7} \).
24. \( 10^{-2} = \frac{1}{100} \) и \( 10^{-3} = \frac{1}{1000} \). \( \frac{1}{100} > \frac{1}{1000} \).
25. \( \frac{11}{73} \) и \( \frac{11}{23} \). Так как \( 73 > 23 \), то \( \frac{11}{73} < \frac{11}{23} \).
26. \( 26\frac{5}{4} \) и \( 26\frac{3}{4} \). \( 5 > 3 \), значит \( 26\frac{5}{4} > 26\frac{3}{4} \).
27. \( 137\frac{5}{7} \) и \( 137\frac{7}{5} \). \( \frac{5}{7} < 1 \), \( \frac{7}{5} > 1 \). Так как \( \frac{5}{7} < \frac{7}{5} \), то \( 137\frac{5}{7} < 137\frac{7}{5} \).
28. \( 3.5-4.8 = -1.3 \) и \( 3.5-2.7 = 0.8 \). \( -1.3 < 0.8 \).
29. \( 8.1-0.15 = 7.95 \) и \( 8.1-1.5 = 6.6 \). \( 7.95 > 6.6 \).
30. \( 135:100 = 1.35 \) и \( 135-0.01 = 134.99 \). \( 1.35 < 134.99 \).
31. \( 7.6-2.13 = 5.47 \) и \( 2.13-7.6 = -5.47 \). \( 5.47 > -5.47 \).
32. \( 18\frac{3}{13} \) и \( 18\frac{3}{13} \). Равны.
33. \( 25:10 = 2.5 \) и \( 2.5-10 = -7.5 \). \( 2.5 > -7.5 \).
34. \( (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} = 0.25 \) и \( (0.5)^2 = 0.25 \). Равны.
35. \( -4^2 = -16 \) и \( 0.13 \). \( -16 < 0.13 \).
36. \( (-2)^2 = 4 \) и \( 0^2 = 0 \). \( 4 > 0 \).
37. \( (-1)^2 = 1 \) и \( 0^2 = 0 \). \( 1 > 0 \).
38. \( (-5)^2 = 25 \) и \( 0 \). \( 25 > 0 \).
39. \( -137^3 \) и \( 0 \). Отрицательное число меньше нуля.
40. \( 495-0.1 \) и \( 0 \). \( 495-0.1 > 0 \).

Ответ:

• 1) \( > \)
• 2) \( < \)
• 3) \( < \)
• 4) \( < \)
• 5) \( > \)
• 6) \( > \)
• 7) \( < \)
• 8) \( = \)
• 9) \( < \)
• 10) \( < \)
• 11) \( < \)
• 12) \( < \)
• 13) \( > \)
• 14) \( > \)
• 15) \( > \)
• 16) \( = \)
• 17) \( = \)
• 18) \( > \)
• 19) \( > \)
• 20) \( > \)
• 21) \( > \)
• 22) \( < \)
• 23) \( > \)
• 24) \( > \)
• 25) \( < \)
• 26) \( > \)
• 27) \( < \)
• 28) \( < \)
• 29) \( > \)
• 30) \( < \)
• 31) \( > \)
• 32) \( = \)
• 33) \( > \)
• 34) \( = \)
• 35) \( < \)
• 36) \( > \)
• 37) \( > \)
• 38) \( > \)
• 39) \( < \)
• 40) \( > \)