Задание 10 В пространстве задан параллелограмм ABCD с вершинами А(1;2;3), B(4;-1;0), С(2;5;-2). Найдите координаты вершины D, используя свойства векторов параллелограмма.

Привет! Давай найдем координаты точки D в нашем параллелограмме. Представь, что у тебя есть три угла этого "кривого" четырехугольника, и тебе нужно найти четвертый.

Мы знаем, что в параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны. Это значит, что векторы, соответствующие этим сторонам, равны.

Есть два основных свойства, которые мы можем использовать:

1. Вектор AB равен вектору DC (AB = DC).
2. Вектор AD равен вектору BC (AD = BC).

Давай выберем первое свойство: AB = DC.

Сначала найдем координаты вектора AB. Для этого вычтем координаты точки A из координат точки B:

AB = (Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az)

AB = (4 - 1; -1 - 2; 0 - 3)

AB = (3; -3; -3)

Теперь найдем координаты вектора DC. Пусть координаты точки D будут (x; y; z). Тогда:

DC = (Cx - Dx; Cy - Dy; Cz - Dz)

DC = (2 - x; 5 - y; -2 - z)

Так как AB = DC, мы можем приравнять их координаты:

• 3 = 2 - x
• -3 = 5 - y
• -3 = -2 - z

Теперь решим каждое уравнение, чтобы найти x, y и z:

• Из 3 = 2 - x следует x = 2 - 3 = -1.
• Из -3 = 5 - y следует y = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8.
• Из -3 = -2 - z следует z = -2 - (-3) = -2 + 3 = 1.

Значит, координаты точки D равны (-1; 8; 1).

Проверка другим способом:

Возьмем второе свойство: AD = BC.

Найдем вектор BC:

BC = (Cx - Bx; Cy - By; Cz - Bz)

BC = (2 - 4; 5 - (-1); -2 - 0)

BC = (-2; 6; -2)

Теперь найдем вектор AD, зная, что D = (x; y; z):

AD = (Dx - Ax; Dy - Ay; Dz - Az)

AD = (x - 1; y - 2; z - 3)

Приравниваем координаты AD и BC:

• x - 1 = -2 => x = -2 + 1 = -1.
• y - 2 = 6 => y = 6 + 2 = 8.
• z - 3 = -2 => z = -2 + 3 = 1.

Получили те же самые координаты для точки D: (-1; 8; 1).

Ответ: D(-1; 8; 1)