Задание 10. Вычислить предел: lim (e^x - x - 1) / x^n, при x->0

Привет! Давай разберемся с этим пределом вместе.

Мы видим предел вида:

• \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^n} \]

Когда $$x$$ стремится к 0, числитель $$e^x - x - 1$$ стремится к $$e^0 - 0 - 1 = 1 - 0 - 1 = 0$$. Знаменатель $$x^n$$ также стремится к 0 (если $$n > 0$$).

Это ситуация вида $$\frac{0}{0}$$, значит, мы можем использовать правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что если предел имеет вид $$\frac{0}{0}$$ или $$\frac{\infty}{\infty}$$, то можно взять производную от числителя и от знаменателя отдельно, а затем вычислить новый предел.

Повторим правило Лопиталя $$n$$ раз, пока знаменатель не станет константой или пока числитель не перестанет быть нулевым при $$x=0$$.

Шаг 1: Применим правило Лопиталя в первый раз.

• Производная числителя: $$\frac{d}{dx}(e^x - x - 1) = e^x - 1$$.
• Производная знаменателя: $$\frac{d}{dx}(x^n) = n × x^{n-1}$$.

Новый предел:

• \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{n × x^{n-1}} \]

Снова получаем $$\frac{0}{0}$$ (если $$n-1 > 0$$).

Шаг 2: Применим правило Лопиталя второй раз (если $$n-1 > 0$$).

• Производная числителя: $$\frac{d}{dx}(e^x - 1) = e^x$$.
• Производная знаменателя: $$\frac{d}{dx}(n × x^{n-1}) = n × (n-1) × x^{n-2}$$.

Новый предел:

• \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{n × (n-1) × x^{n-2}} \]

Продолжая применять правило Лопиталя $$n$$ раз, мы получим:

• \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{n! × x^{n-n}} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{n!} \]

Теперь, когда $$x \to 0$$, $$e^x \to e^0 = 1$$. Предел становится:

• \[ \frac{1}{n!} \]

Важно: Это верно, если $$n$$ — натуральное число. Если $$n$$ — не натуральное число, или $$n ≤ 0$$, случай будет другим.

Анализ для разных $$n$$:

• Если $$n=1$$:
• \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{1} = e^0 - 1 = 0 \]
• Если $$n=2$$:
• \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2} \]
• Если $$n=3$$:
• \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{6x} \]

Если $$n > 2$$, то при $$x \to 0$$, знаменатель $$6x \to 0$$, а числитель $$e^x \to 1$$. В этом случае предел будет либо $$+\infty$$, либо $$-\infty$$, либо не будет существовать, в зависимости от того, с какой стороны $$x$$ стремится к 0.

Однако, если $$n$$ — любое положительное целое число, то правильное применение правила Лопиталя $$n$$ раз приводит к:

• \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^n} \rightarrow \frac{1}{n!} \text{ (для } n \text{ кратно} ) \]

Учитывая, что в задании $$n$$ не указано конкретное значение, и типичный случай для таких задач — когда предел конечен, предполагаем, что $$n$$ — положительное целое число.

Ответ:

• Если $$n=1$$, предел равен 0.
• Если $$n=2$$, предел равен 1/2.
• Если $$n$$ — положительное целое число больше 2, то предел равен 1/n!.
• Если $$n$$ — не положительное целое число, предел будет другим.

Учитывая стандартные задачи, чаще всего $$n=2$$ встречается, где ответ $$\frac{1}{2}$$. Если $$n$$ — натуральное число, то правильный ответ 1/n!.