Задание 10 Решите уравнение: 16^x - 60 * 4^x - 256 = 0.

Решение:

Данное уравнение является биквадратным относительно \( 4^x \).

1. Заменим \( 16^x \) как \( (4^2)^x = (4^x)^2 \).
2. Пусть \( t = 4^x \). Тогда уравнение примет вид: \( t^2 - 60t - 256 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение относительно \( t \) с помощью дискриминанта:
4. \( D = b^2 - 4ac = (-60)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-256) = 3600 + 1024 = 4624 \)
5. \( \sqrt{D} = \sqrt{4624} = 68 \)
6. Найдем корни \( t \):
7. \( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{60 + 68}{2} = \frac{128}{2} = 64 \)
8. \( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{60 - 68}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)
9. Теперь вернемся к замене \( t = 4^x \):
10. Случай 1: \( 4^x = 64 \)
11. Так как \( 64 = 4^3 \), то \( 4^x = 4^3 \). Следовательно, \( x = 3 \).
12. Случай 2: \( 4^x = -4 \)
13. Показательная функция \( 4^x \) всегда положительна, поэтому уравнение \( 4^x = -4 \) не имеет решений.

Ответ: x = 3.