Задание 10. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Образующая конуса равна 5√2. Найдите площадь поверхности сферы.

Решение:

Пусть \( R \) — радиус сферы, \( r \) — радиус основания конуса, \( h \) — высота конуса, \( l \) — образующая конуса.

По условию, центр сферы совпадает с центром основания конуса. Это означает, что радиус сферы равен образующей конуса, которая соединяет центр основания с вершиной конуса, проходя через точку на окружности основания.

В данном случае, радиус сферы \( R \) равен образующей конуса \( l \).

По условию, образующая конуса \( l = 5\sqrt{2} \).

Следовательно, радиус сферы \( R = 5\sqrt{2} \).

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле: \( S = 4\pi R^2 \).

Подставим значение радиуса сферы:

\[ S = 4\pi (5\sqrt{2})^2 \]

\[ S = 4\pi (25 \cdot 2) \]

\[ S = 4\pi \cdot 50 \]

\[ S = 200\pi \]

Ответ: Площадь поверхности сферы равна \( 200\pi \).