Задание 10-2. Форм Разложить функцию y = e^{-2x^2} по степеням х.

Привет! Сейчас разберемся, как представить функцию \( y = e^{-2x^2} \) в виде степенного ряда. Это стандартная задача, и мы будем использовать уже известное разложение экспоненты.

Шаг 1: Вспоминаем разложение экспоненты

Мы знаем, что функция \( e^u \) раскладывается в степенной ряд по переменной \( u \) следующим образом:

\[ e^u = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^n}{n!} = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \dots \]

Это разложение верно для всех \( u \).

Шаг 2: Подставляем нашу функцию

В нашем случае, переменная \( u \) равна \( -2x^2 \). Подставим это в формулу разложения:

\[ y = e^{-2x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2x^2)^n}{n!} \]

Шаг 3: Раскрываем степень и упрощаем

Теперь раскроем степень \( (-2x^2)^n \):

\[ (-2x^2)^n = (-2)^n (x^2)^n = (-2)^n x^{2n} \]

Подставим это обратно в наше разложение:

\[ y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n x^{2n}}{n!} \]

Шаг 4: Записываем первые несколько членов ряда

Давай запишем несколько первых членов, чтобы было понятнее:

• При \( n=0 \): \( \frac{(-2)^0 x^{2 \times 0}}{0!} = \frac{1 \times 1}{1} = 1 \)
• При \( n=1 \): \( \frac{(-2)^1 x^{2 \times 1}}{1!} = \frac{-2 x^2}{1} = -2x^2 \)
• При \( n=2 \): \( \frac{(-2)^2 x^{2 \times 2}}{2!} = \frac{4 x^4}{2} = 2x^4 \)
• При \( n=3 \): \( \frac{(-2)^3 x^{2 \times 3}}{3!} = \frac{-8 x^6}{6} = -\frac{4}{3}x^6 \)

Таким образом, разложение функции выглядит так:

\[ y = 1 - 2x^2 + 2x^4 - \frac{4}{3}x^6 + \dots \]

Итоговый ответ:

Функция \( y = e^{-2x^2} \) раскладывается в степенной ряд следующим образом:

\[ e^{-2x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n x^{2n}}{n!} \]

Ответ:

\( e^{-2x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n x^{2n}}{n!} \)