Задание 1. Задана функция $$y = \frac{2x^2 - 8}{x + 3}$$. Найдите: а) значение функции, если значение аргумента равно -2 (10 баллов); б) значение аргумента, при котором значение функции равно -3 (12 баллов).

Решение:

Задана функция \( y = \frac{2x^2 - 8}{x + 3} \).

а) Найдём значение функции, если значение аргумента равно -2.

Подставим \( x = -2 \) в выражение функции:

\[ y = \frac{2(-2)^2 - 8}{-2 + 3} = \frac{2(4) - 8}{1} = \frac{8 - 8}{1} = \frac{0}{1} = 0 \]

Ответ: значение функции равно 0.

б) Найдём значение аргумента, при котором значение функции равно -3.

Приравняем функцию к -3 и решим полученное уравнение:

\[ \frac{2x^2 - 8}{x + 3} = -3 \]

Для начала, убедимся, что знаменатель не равен нулю, то есть \( x \neq -3 \).

Умножим обе части уравнения на \( (x + 3) \):

\[ 2x^2 - 8 = -3(x + 3) \]

Раскроем скобки:

\[ 2x^2 - 8 = -3x - 9 \]

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 2x^2 + 3x - 8 + 9 = 0 \]

\[ 2x^2 + 3x + 1 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты:

\( a = 2, b = 3, c = 1 \)

Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = 3^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 \]

\[ x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]

Оба значения \( x = -0.5 \) и \( x = -1 \) не равны -3, поэтому являются решениями.

Ответ: значение аргумента равно -0.5 или -1.