Задание 1. Необходимо выполнить задание на отдельном листе А4: построить фундамент в форме равнобедренного треугольника ABC (AB = BC), но инструкции утеряны. Правила: 1. «Осевая симметрия»: основание AC должно лежать на отрезке длиной 8 см. Вершина B должна быть равноудалена от точек A и C. 2. «Точка силы»: высота, проведённая из вершины B к основанию AC, должна быть равна 6 см. 3. «Скрытый артефакт»: в полученном треугольнике необходимо построить вписанную окружность (инцентр). Миссия: 1. Расшифровать свиток: выполнить классическое построение равнобедренного треугольника по основанию и высоте, проведённой к нему, используя только циркуль и линейку без делений. 2. Найти «Точку силы»: докажите, что построенная вами высота также является медианной и [текст задания обрезан].

Построение треугольника ABC

1. Построим отрезок AC = 8 см.
2. С помощью циркуля построим серединный перпендикуляр к отрезку AC: из точек A и C одинаковым радиусом, большим 4 см, проведём дуги, пересекающиеся по обе стороны отрезка. Соединим точки пересечения дуг. Полученная прямая пересекает AC в точке M, причём AM = MC = 4 см.
3. На серединном перпендикуляре отложим от точки M отрезок MB = 6 см и получим вершину B.
4. Соединим точки B и A, B и C. Получен равнобедренный треугольник ABC с основанием AC.

Так как AM = MC = 4 см и MB = 6 см, длина боковой стороны определяется по теореме Пифагора:

\(AB=BC=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\text{ см}\).

Доказательство свойства «Точки силы»

Точка B лежит на серединном перпендикуляре к AC. Поэтому она равноудалена от концов отрезка AC: \(AB=BC\). В треугольниках ABM и CBM:

• \(AB=BC\);
• \(AM=MC\);
• отрезок BM — общий.

Следовательно, треугольники ABM и CBM равны по трём сторонам. Поэтому \(AM=MC\), то есть точка M является серединой основания AC. Значит, высота BM одновременно является медианой. Кроме того, из равенства треугольников следует равенство углов ABM и MBC, поэтому BM является также биссектрисой угла B.

Построение вписанной окружности

1. Построим биссектрису угла A.
2. Построим биссектрису угла B. Их пересечение обозначим I. Это инцентр треугольника.
3. Из точки I опустим перпендикуляр к стороне AC; основание перпендикуляра обозначим D.
4. С центром I и радиусом ID проведём окружность. Она касается всех трёх сторон треугольника, поэтому является вписанной.

В данном треугольнике точка I лежит на оси симметрии BM. Радиус вписанной окружности равен

\(r=\frac{S}{p}=\frac{24}{4+2\sqrt{13}}=\frac{4}{3}(\sqrt{13}-2)\text{ см}\),

поскольку площадь \(S=\frac{1}{2}\cdot8\cdot6=24\text{ см}^2\), а полупериметр \(p=4+2\sqrt{13}\text{ см}\).

На схеме показаны основание AC, высота и медиана BM, инцентр I и вписанная окружность. Продолжение пункта 2 на фотографии обрезано, поэтому его дополнительное требование невозможно восстановить точно.

Ответ: построен равнобедренный треугольник с AC = 8 см и BM = 6 см; высота BM является медианой и биссектрисой; построена вписанная окружность с центром I.