Задание 1. На сторонах ВС и AD параллелограмма ABCD отложены равные отрезки ВЕ и DF. Докажите, что четырехугольник EBFD - параллелограмм.

Решение:

1. В параллелограмме ABCD противолежащие стороны равны: \( BC = AD \) и \( AB = CD \).

2. По условию \( BE = DF \).

3. Так как \( E \) лежит на \( BC \), то \( EC = BC - BE \).

4. Так как \( F \) лежит на \( AD \), то \( AF = AD - DF \).

5. Так как \( BC = AD \) и \( BE = DF \), то \( BC - BE = AD - DF \), следовательно, \( EC = AF \).

6. В параллелограмме ABCD противолежащие стороны параллельны: \( BC \parallel AD \) и \( AB \parallel CD \).

7. Рассмотрим четырехугольник EBFD. Стороны \( BE \) и \( DF \) параллельны, так как они лежат на параллельных сторонах \( BC \) и \( AD \) параллелограмма ABCD. \( BE \parallel DF \).

8. Стороны \( BF \) и \( DE \) параллельны, так как \( BF \) и \( DE \) являются частями диагоналей параллелограмма, и в данном случае они не обязательно параллельны.

9. Рассмотрим стороны \( EB \) и \( DF \). По условию \( EB = DF \). Также, так как \( EB \) лежит на \( BC \) и \( DF \) лежит на \( AD \), а \( BC \parallel AD \), то \( EB \parallel DF \).

10. Четырехугольник EBFD имеет пару противолежащих сторон \( EB \) и \( DF \), которые равны и параллельны. Следовательно, EBFD — параллелограмм.

Доказано.