Задание 1. Дано: ∠DEC = ∠FCE, ∠DCE = ∠FEC, BD = ED, AD = CD, AD = 22 см (рис. 1). Докажите: ΔABD = ΔCEF. Найдите: CD — ?

Дано: \(\angle DEC = \angle FCE\), \(\angle DCE = \angle FEC\), \(BD = ED\), \(AD = CD\), \(AD = 22\) см.

Доказательство.

1. Рассмотрим треугольники \(\triangle DEC\) и \(\triangle FCE\). По условию \(\angle DEC = \angle FCE\), \(\angle DCE = \angle FEC\), а сторона \(CE\) является общей. Следовательно, \(\triangle DEC = \triangle FCE\) по стороне и двум прилежащим к ней углам.
2. Из равенства треугольников получаем соответствующие равные стороны: \(DE = CF\), \(DC = FE\), а также \(\angle CDE = \angle CFE\).
3. По условию \(BD = ED\), поэтому \(BD = CF\).
4. По условию \(AD = CD\), поэтому \(AD = FE\).
5. Точки \(A,D,C\) лежат на одной прямой, а точки \(B,D,E\) — на другой. Поэтому вертикальные углы равны: \(\angle ADB = \angle CDE\). Так как \(\angle CDE = \angle CFE\), то \(\angle ADB = \angle CFE\).
6. Итак, в треугольниках \(\triangle ABD\) и \(\triangle FEC\): \(AD = FE\), \(BD = FC\), \(\angle ADB = \angle CFE\). Следовательно, \(\triangle ABD = \triangle FEC\) по двум сторонам и углу между ними. Это то же соответствие, что \(\triangle ABD = \triangle CEF\), если вершины второго треугольника записывать в порядке \(C\leftrightarrow B\), \(E\leftrightarrow A\), \(F\leftrightarrow D\).

Нахождение CD:

По условию \(AD = CD\), а \(AD = 22\) см. Значит, \(CD = 22\) см.

Ответ: \(CD = 22\) см.