Задание 114. Вычислите. 1) sin (-π/4) = 2) cos (-π/2) = 3) tg (-π/3) = 4) cos (-π/4) = 5) sin (-π/2) = 6) cos (-7π/3) = 7) tg (-13π/3) = 8) sin (-25π/4) = 9) sin (-25π/6) + tg (-π/4) = 10) ctg (-π/2) - cos (-7π/6) = 11) √2 sin (-π/4) · cos (-π/3) = 12) √6 cos (-9π/4) · ctg (-7π/3) = 13) tg (-17π/4) · sin (-25π/6) = 14) 3 cos (-5π) · sin (-7π/2) = 15) sin² (-π/3) + cos² (-π/4) - tg² (-19π/3) = 16) 4 cos² (-π/3) - 4 sin² (-π/3) + tg² (-π/4) = Задание 115. Упростите выражение. 1) sin (-a) + sin a = 2) tg a - tg (-a)= 3) sin(-a) / cos(-a) = 4) 2cos(-a) / sin(-a) = 5) tg (-a) · ctg (-a)-sin² (-a) = 6) ctg (-a)+ cos(-a)-sin(-a) / sin a = 7) tg (-a) · sin(-a)- 1/ cos a = 8) ctg (-a) · sin(-a)-cos(-a)=

Задание 114. Вычислите.

1) sin(-π/4) =

Давай вспомним, что синус - нечетная функция, то есть sin(-x) = -sin(x). Тогда:

\[ sin(-\frac{\pi}{4}) = -sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Ответ: -√2/2

2) cos(-π/2) =

Косинус - четная функция, то есть cos(-x) = cos(x). Тогда:

\[ cos(-\frac{\pi}{2}) = cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \]

Ответ: 0

3) tg(-π/3) =

Тангенс - нечетная функция, то есть tg(-x) = -tg(x). Тогда:

\[ tg(-\frac{\pi}{3}) = -tg(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} \]

Ответ: -√3

4) cos(-π/4) =

Косинус - четная функция, то есть cos(-x) = cos(x). Тогда:

\[ cos(-\frac{\pi}{4}) = cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Ответ: √2/2

5) sin(-π/2) =

Синус - нечетная функция, то есть sin(-x) = -sin(x). Тогда:

\[ sin(-\frac{\pi}{2}) = -sin(\frac{\pi}{2}) = -1 \]

Ответ: -1

6) cos(-7π/3) =

Косинус - четная функция, то есть cos(-x) = cos(x). Сначала упростим угол:

\[ cos(-\frac{7\pi}{3}) = cos(\frac{7\pi}{3}) = cos(2\pi + \frac{\pi}{3}) = cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \]

Ответ: 1/2

7) tg(-13π/3) =

Тангенс - нечетная функция, то есть tg(-x) = -tg(x). Сначала упростим угол:

\[ tg(-\frac{13\pi}{3}) = -tg(\frac{13\pi}{3}) = -tg(4\pi + \frac{\pi}{3}) = -tg(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} \]

Ответ: -√3

8) sin(-25π/4) =

Синус - нечетная функция, то есть sin(-x) = -sin(x). Сначала упростим угол:

\[ sin(-\frac{25\pi}{4}) = -sin(\frac{25\pi}{4}) = -sin(6\pi + \frac{\pi}{4}) = -sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Ответ: -√2/2

9) sin(-25π/6) + tg(-π/4) =

Синус и тангенс - нечетные функции. Сначала упростим углы:

\[ sin(-\frac{25\pi}{6}) = -sin(\frac{25\pi}{6}) = -sin(4\pi + \frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \] \[ tg(-\frac{\pi}{4}) = -tg(\frac{\pi}{4}) = -1 \] \[ sin(-\frac{25\pi}{6}) + tg(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2} \]

Ответ: -3/2

10) ctg(-π/2) - cos(-7π/6) =

Котангенс и косинус - четные функции. Сначала упростим углы:

\[ ctg(-\frac{\pi}{2}) = -ctg(\frac{\pi}{2}) = 0 \] \[ cos(-\frac{7\pi}{6}) = cos(\frac{7\pi}{6}) = cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ ctg(-\frac{\pi}{2}) - cos(-\frac{7\pi}{6}) = 0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Ответ: √3/2

11) √2 sin(-π/4) · cos(-π/3) =

Синус - нечетная функция, косинус - четная:

\[ sin(-\frac{\pi}{4}) = -sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ cos(-\frac{\pi}{3}) = cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \] \[ \sqrt{2} sin(-\frac{\pi}{4}) \cdot cos(-\frac{\pi}{3}) = \sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} \]

Ответ: -1/2

12) √6 cos(-9π/4) · ctg(-7π/3) =

Косинус и котангенс - четные функции. Сначала упростим углы:

\[ cos(-\frac{9\pi}{4}) = cos(\frac{9\pi}{4}) = cos(2\pi + \frac{\pi}{4}) = cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ ctg(-\frac{7\pi}{3}) = -ctg(\frac{7\pi}{3}) = -ctg(2\pi + \frac{\pi}{3}) = ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] \[ \sqrt{6} cos(-\frac{9\pi}{4}) \cdot ctg(-\frac{7\pi}{3}) = \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{36}}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]

Ответ: 1

13) tg(-17π/4) · sin(-25π/6) =

Тангенс и синус - нечетные функции. Сначала упростим углы:

\[ tg(-\frac{17\pi}{4}) = -tg(\frac{17\pi}{4}) = -tg(4\pi + \frac{\pi}{4}) = -tg(\frac{\pi}{4}) = -1 \] \[ sin(-\frac{25\pi}{6}) = -sin(\frac{25\pi}{6}) = -sin(4\pi + \frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \] \[ tg(-\frac{17\pi}{4}) \cdot sin(-\frac{25\pi}{6}) = (-1) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \]

Ответ: 1/2

14) 3 cos(-5π) · sin(-7π/2) =

Косинус - четная функция, синус - нечетная. Сначала упростим углы:

\[ cos(-5\pi) = cos(5\pi) = cos(\pi + 4\pi) = -1 \] \[ sin(-\frac{7\pi}{2}) = -sin(\frac{7\pi}{2}) = -sin(3\pi + \frac{\pi}{2}) = -(-1) = 1 \] \[ 3 cos(-5\pi) \cdot sin(-\frac{7\pi}{2}) = 3 \cdot (-1) \cdot 1 = -3 \]

Ответ: -3

15) sin²(-π/3) + cos²(-π/4) - tg²(-19π/3) =

Синус и тангенс - нечетные функции, косинус - четная. Сначала упростим углы и применим свойства четности/нечетности:

\[ sin(-\frac{\pi}{3}) = -sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ cos(-\frac{\pi}{4}) = cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ tg(-\frac{19\pi}{3}) = -tg(\frac{19\pi}{3}) = -tg(6\pi + \frac{\pi}{3}) = -tg(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} \] Теперь подставим в исходное выражение: \[ sin^2(-\frac{\pi}{3}) + cos^2(-\frac{\pi}{4}) - tg^2(-\frac{19\pi}{3}) = (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - (-\sqrt{3})^2 = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} - 3 = \frac{5}{4} - 3 = \frac{5 - 12}{4} = -\frac{7}{4} \]

Ответ: -7/4

16) 4 cos²(-π/3) - 4 sin²(-π/3) + tg²(-π/4) =

Синус - нечетная функция, косинус и тангенс - четные. Сначала упростим углы и применим свойства четности/нечетности:

\[ cos(-\frac{\pi}{3}) = cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \] \[ sin(-\frac{\pi}{3}) = -sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ tg(-\frac{\pi}{4}) = -tg(\frac{\pi}{4}) = -1 \] Теперь подставим в исходное выражение: \[ 4 cos^2(-\frac{\pi}{3}) - 4 sin^2(-\frac{\pi}{3}) + tg^2(-\frac{\pi}{4}) = 4 (\frac{1}{2})^2 - 4 (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-1)^2 = 4 \cdot \frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{3}{4} + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \]

Ответ: -1

Задание 115. Упростите выражение.

1) sin(-a) + sin a =

Так как синус - нечетная функция, sin(-a) = -sin(a). Тогда: \[ sin(-a) + sin(a) = -sin(a) + sin(a) = 0 \]

Ответ: 0

2) tg a - tg (-a) =

Так как тангенс - нечетная функция, tg(-a) = -tg(a). Тогда: \[ tg(a) - tg(-a) = tg(a) - (-tg(a)) = tg(a) + tg(a) = 2tg(a) \]

Ответ: 2tg(a)

3) sin(-a) / cos(-a) =

Так как синус - нечетная функция, а косинус - четная, sin(-a) = -sin(a) и cos(-a) = cos(a). Тогда: \[ \frac{sin(-a)}{cos(-a)} = \frac{-sin(a)}{cos(a)} = -tg(a) \]

Ответ: -tg(a)

4) 2cos(-a) / sin(-a) =

Так как синус - нечетная функция, а косинус - четная, sin(-a) = -sin(a) и cos(-a) = cos(a). Тогда: \[ \frac{2cos(-a)}{sin(-a)} = \frac{2cos(a)}{-sin(a)} = -2ctg(a) \]

Ответ: -2ctg(a)

5) tg (-a) · ctg (-a)-sin² (-a) =

Тангенс и котангенс - нечетные функции, а синус - нечетная, значит tg(-a)=-tg(a), ctg(-a)=-ctg(a), sin(-a)=-sin(a): \[ tg(-a) \cdot ctg(-a) - sin^2(-a) = -tg(a) \cdot (-ctg(a)) - (-sin(a))^2 = tg(a) \cdot ctg(a) - sin^2(a) = 1 - sin^2(a) = cos^2(a) \]

Ответ: cos²(a)

6) ctg (-a)+ (cos(-a)-sin(-a)) / sin a =

Так как котангенс и косинус четные функции, а синус - нечетная, ctg(-a)=-ctg(a), cos(-a)=cos(a), sin(-a)=-sin(a). Тогда: \[ ctg(-a) + \frac{cos(-a) - sin(-a)}{sin(a)} = -ctg(a) + \frac{cos(a) - (-sin(a))}{sin(a)} = -ctg(a) + \frac{cos(a) + sin(a)}{sin(a)} = -ctg(a) + \frac{cos(a)}{sin(a)} + \frac{sin(a)}{sin(a)} = -ctg(a) + ctg(a) + 1 = 1 \]

Ответ: 1

7) tg (-a) · sin(-a)- 1/ cos a =

Тангенс и синус - нечетные функции, косинус - четная функция, tg(-a) = -tg(a), sin(-a) = -sin(a), cos(-a) = cos(a). Тогда: \[ tg(-a) \cdot sin(-a) - \frac{1}{cos(a)} = -tg(a) \cdot (-sin(a)) - \frac{1}{cos(a)} = tg(a) \cdot sin(a) - \frac{1}{cos(a)} = \frac{sin(a)}{cos(a)} \cdot sin(a) - \frac{1}{cos(a)} = \frac{sin^2(a)}{cos(a)} - \frac{1}{cos(a)} = \frac{sin^2(a) - 1}{cos(a)} = \frac{-cos^2(a)}{cos(a)} = -cos(a) \]

Ответ: -cos(a)

8) ctg (-a) · sin(-a)-cos(-a) =

Котангенс и синус - нечетные функции, а косинус - четная, ctg(-a) = -ctg(a), sin(-a) = -sin(a), cos(-a) = cos(a). Тогда: \[ ctg(-a) \cdot sin(-a) - cos(-a) = -ctg(a) \cdot (-sin(a)) - cos(a) = ctg(a) \cdot sin(a) - cos(a) = \frac{cos(a)}{sin(a)} \cdot sin(a) - cos(a) = cos(a) - cos(a) = 0 \]

Ответ: 0

Ответ: 0