Задание 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями № варианта Линии 1 y=2-x²; y = x²; x = 0 3 2 y= x2 + x – 6; y = 6-3x; x=0 3 y= x²+2x-8; y = -12 - 3x 4 y= x2 - 4x + 3; y = 6 - 2x 5 y= x² + 6x + 8; y = 4x+16 6 y=x2-2x-3; y=-2x-2

Ответ: Решения представлены ниже.

Вариант 1

y = 2 - x², y = x², x = 0

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями, нужно вычислить интеграл разности функций на соответствующем интервале.

Шаг 1: Найдем точку пересечения кривых.

2 - x² = x²

2x² = 2

x² = 1

x = ±1

Так как x = 0, рассматриваем x = 1.

Шаг 2: Вычислим интеграл.

\[\int_0^1 (2 - x^2 - x^2) dx = \int_0^1 (2 - 2x^2) dx\]

\[= \left[2x - \frac{2}{3}x^3\right]_0^1 = 2(1) - \frac{2}{3}(1)^3 - (0) = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\]

Площадь: 4/3

Вариант 2

y = x² + x - 6, y = 6 - 3x, x = 0

Шаг 1: Найдем точку пересечения кривых.

x² + x - 6 = 6 - 3x

x² + 4x - 12 = 0

D = 4² - 4(-12) = 16 + 48 = 64

x₁ = (-4 + 8) / 2 = 2

x₂ = (-4 - 8) / 2 = -6

Рассматриваем x = 2 (так как x = 0 учитывается границей).

Шаг 2: Вычислим интеграл.

\[\int_0^2 (6 - 3x - (x^2 + x - 6)) dx = \int_0^2 (12 - 4x - x^2) dx\]

\[= \left[12x - 2x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_0^2 = 12(2) - 2(2)^2 - \frac{1}{3}(2)^3 - (0) = 24 - 8 - \frac{8}{3} = 16 - \frac{8}{3} = \frac{40}{3}\]

Площадь: 40/3

Вариант 3

y = x² + 2x - 8, y = -12 - 3x

Шаг 1: Найдем точку пересечения кривых.

x² + 2x - 8 = -12 - 3x

x² + 5x + 4 = 0

(x + 4)(x + 1) = 0

x₁ = -4

x₂ = -1

Шаг 2: Вычислим интеграл.

\[\int_{-4}^{-1} (-12 - 3x - (x^2 + 2x - 8)) dx = \int_{-4}^{-1} (-x^2 - 5x - 4) dx\]

\[= \left[-\frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 4x\right]_{-4}^{-1} = \left(-\frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{5}{2}(-1)^2 - 4(-1)\right) - \left(-\frac{1}{3}(-4)^3 - \frac{5}{2}(-4)^2 - 4(-4)\right)\]

\[= \left(\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4\right) - \left(\frac{64}{3} - 40 + 16\right) = \frac{2 - 15 + 24}{6} - \frac{64 - 120 + 48}{3} = \frac{11}{6} - \frac{-8}{3} = \frac{11}{6} + \frac{16}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}\]

Площадь: 9/2

Вариант 4

y = x² - 4x + 3, y = 6 - 2x

Шаг 1: Найдем точку пересечения кривых.

x² - 4x + 3 = 6 - 2x

x² - 2x - 3 = 0

(x - 3)(x + 1) = 0

x₁ = 3

x₂ = -1

Шаг 2: Вычислим интеграл.

\[\int_{-1}^{3} (6 - 2x - (x^2 - 4x + 3)) dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx\]

\[= \left[-\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x\right]_{-1}^{3} = \left(-\frac{1}{3}(3)^3 + (3)^2 + 3(3)\right) - \left(-\frac{1}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + 3(-1)\right)\]

\[= \left(-9 + 9 + 9\right) - \left(\frac{1}{3} + 1 - 3\right) = 9 - \left(\frac{1}{3} - 2\right) = 9 - \left(\frac{1 - 6}{3}\right) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27 + 5}{3} = \frac{32}{3}\]

Площадь: 32/3

Вариант 5

y = x² + 6x + 8, y = 4x + 16

Шаг 1: Найдем точку пересечения кривых.

x² + 6x + 8 = 4x + 16

x² + 2x - 8 = 0

(x + 4)(x - 2) = 0

x₁ = -4

x₂ = 2

Шаг 2: Вычислим интеграл.

\[\int_{-4}^{2} (4x + 16 - (x^2 + 6x + 8)) dx = \int_{-4}^{2} (-x^2 - 2x + 8) dx\]

\[= \left[-\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 8x\right]_{-4}^{2} = \left(-\frac{1}{3}(2)^3 - (2)^2 + 8(2)\right) - \left(-\frac{1}{3}(-4)^3 - (-4)^2 + 8(-4)\right)\]

\[= \left(-\frac{8}{3} - 4 + 16\right) - \left(\frac{64}{3} - 16 - 32\right) = \left(-\frac{8}{3} + 12\right) - \left(\frac{64}{3} - 48\right) = \frac{-8 + 36}{3} - \frac{64 - 144}{3} = \frac{28}{3} - \frac{-80}{3} = \frac{28 + 80}{3} = \frac{108}{3} = 36\]

Площадь: 36

Вариант 6

y = x² - 2x - 3, y = -2x - 2

Шаг 1: Найдем точку пересечения кривых.

x² - 2x - 3 = -2x - 2

x² - 1 = 0

x² = 1

x₁ = 1

x₂ = -1

Шаг 2: Вычислим интеграл.

\[\int_{-1}^{1} (-2x - 2 - (x^2 - 2x - 3)) dx = \int_{-1}^{1} (-x^2 + 1) dx\]

\[= \left[-\frac{1}{3}x^3 + x\right]_{-1}^{1} = \left(-\frac{1}{3}(1)^3 + (1)\right) - \left(-\frac{1}{3}(-1)^3 + (-1)\right)\]

\[= \left(-\frac{1}{3} + 1\right) - \left(\frac{1}{3} - 1\right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\]

Площадь: 4/3