Задание 5. Тренинг 0% ? мэш : Найдите боковую сторону CD трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны 45° и 150° соответственно, а сторона АВ = 29. CD = • Проверить Следующая задача → Решение похожей задачи Подсказка

Решение:

• Шаг 1: Определим углы, прилежащие к боковой стороне BC.

В трапеции ABCD углы ABC и BCD прилежат к боковой стороне BC. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°. Следовательно:

\[\angle ABC + \angle BCD = 45^\circ + 150^\circ = 195^\circ\]

Так как сумма углов прилежащих к боковой стороне не равна 180°, трапеция не является обычной. Однако, мы можем провести высоты из точек B и C к основанию AD.

• Шаг 2: Проведём высоту BH к стороне AD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нём угол ABH равен 45°, а AB = 29.

• Шаг 3: Найдём длину высоты BH.

Используем синус угла ABH: \[BH = AB \cdot \sin(\angle ABC) = 29 \cdot \sin(45^\circ) = 29 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{29\sqrt{2}}{2}\]

• Шаг 4: Проведём высоту CK к стороне AD.

Рассмотрим прямоугольник HBCK. BH = CK = \[\frac{29\sqrt{2}}{2}\].

• Шаг 5: Найдём KD.

Т.к. угол BCD = 150°, то угол KCD = 150° - 90° = 60°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CDK. В нём CK = \[\frac{29\sqrt{2}}{2}\] , угол KCD = 60°.

Следовательно: \[KD = \frac{CK}{\tan(\angle KCD)} = \frac{\frac{29\sqrt{2}}{2}}{\tan(60^\circ)} = \frac{\frac{29\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{29\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{29\sqrt{6}}{6}\]

• Шаг 6: Найдём CD.

Используем теорему Пифагора для треугольника CDK: \[CD = \sqrt{CK^2 + KD^2} = \sqrt{\left(\frac{29\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{29\sqrt{6}}{6}\right)^2} = \sqrt{\frac{29^2 \cdot 2}{4} + \frac{29^2 \cdot 6}{36}} = \sqrt{\frac{29^2}{2} + \frac{29^2}{6}}\] \[CD = 29 \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} = 29 \cdot \sqrt{\frac{3+1}{6}} = 29 \cdot \sqrt{\frac{4}{6}} = 29 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = 29 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}\]

Ответ:

\[CD = \frac{29\sqrt{6}}{3}\]