Задание 1. Решите уравнения. 1) √7x²+5x-8=4-2x; 2) 4x²+5x-1 = √5x + 1; 3) √4x+5-√7x+4= -2; 4)x+5=√3-3x; 5) √x+7+6vx-2+x+14-8vx-2=15. Задание 2. а) Решите уравнение √x3 + 2x² - 29x-21 = 2-х. 6) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (-√23; √12].

Решим уравнения по порядку: 1) \[\sqrt{7x^2+5x-8} = 4-2x\] Возведем обе части в квадрат: \[7x^2+5x-8 = (4-2x)^2\] \[7x^2+5x-8 = 16 - 16x + 4x^2\] \[3x^2 + 21x - 24 = 0\] \[x^2 + 7x - 8 = 0\] По теореме Виета: x_1 = -8, x_2 = 1 Проверим корни: При x = -8: \[\sqrt{7(-8)^2+5(-8)-8} = \sqrt{448-40-8} = \sqrt{400} = 20\] \[4-2(-8) = 4+16 = 20\] При x = 1: \[\sqrt{7(1)^2+5(1)-8} = \sqrt{7+5-8} = \sqrt{4} = 2\] \[4-2(1) = 4-2 = 2\] Оба корня подходят. 2) \[\sqrt[3]{4x^2+5x-1} = \sqrt[3]{5x+1}\] Возведем обе части в куб: \[4x^2+5x-1 = 5x+1\] \[4x^2 - 2 = 0\] \[4x^2 = 2\] \[x^2 = \frac{1}{2}\] \[x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\] 3) \[\sqrt{4x+5} - \sqrt{7x+4} = -2\] \[\sqrt{4x+5} = \sqrt{7x+4} - 2\] Возведем обе части в квадрат: \[4x+5 = 7x+4 - 4\sqrt{7x+4} + 4\] \[-3x-3 = -4\sqrt{7x+4}\] \[3x+3 = 4\sqrt{7x+4}\] Возведем обе части в квадрат: \[9x^2+18x+9 = 16(7x+4)\] \[9x^2+18x+9 = 112x+64\] \[9x^2 - 94x - 55 = 0\] D = 94^2 - 4*9*(-55) = 8836 + 1980 = 10816 = 104^2 x_1 = (94+104)/18 = 198/18 = 11 x_2 = (94-104)/18 = -10/18 = -5/9 Проверим корни: x = 11: \sqrt{4(11)+5} - \sqrt{7(11)+4} = \sqrt{49} - \sqrt{81} = 7 - 9 = -2 x = -5/9: \sqrt{4(-5/9)+5} - \sqrt{7(-5/9)+4} = \sqrt{-20/9+45/9} - \sqrt{-35/9+36/9} = \sqrt{25/9} - \sqrt{1/9} = 5/3 - 1/3 = 4/3 != -2 Только x = 11 является корнем. 4) \(x+5 = \sqrt{3-3x}\) Возведем обе части в квадрат: \[(x+5)^2 = 3-3x\] \[x^2+10x+25 = 3-3x\] \[x^2+13x+22 = 0\] \[(x+2)(x+11)=0\] x=-2, x=-11 Проверка: x=-2: -2+5 = 3 sqrt(3-3*(-2)) = sqrt(9)=3 x=-11: -11+5=-6 sqrt(3-3(-11)) = sqrt(36)=6 не подходит. Ответ: x=-2 5) \[\sqrt{x+7+6\sqrt{x-2}} + \sqrt{x+14-8\sqrt{x-2}} = 15\] \[\sqrt{(x-2)+6\sqrt{x-2}+9} + \sqrt{(x-2)-8\sqrt{x-2}+16} = 15\] \{\sqrt{(\sqrt{x-2}+3)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-2}-4)^2} = 15\] \[|\sqrt{x-2}+3| + |\sqrt{x-2}-4| = 15\] Так как \(\sqrt{x-2}+3\) всегда положительное, то \(|\sqrt{x-2}+3| = \sqrt{x-2}+3\). Рассмотрим два случая: 1) \(\sqrt{x-2} \geq 4\). Тогда \(|\sqrt{x-2}-4| = \sqrt{x-2}-4\). \{\sqrt{x-2}+3 + \sqrt{x-2}-4 = 15\] \[2\sqrt{x-2} - 1 = 15\] \[2\sqrt{x-2} = 16\] \[\sqrt{x-2} = 8\] \[x-2 = 64\] \[x = 66\] Так как \(\sqrt{66-2} = \sqrt{64} = 8 \geq 4\), то этот корень подходит. 2) \(\sqrt{x-2} < 4\). Тогда \(|\sqrt{x-2}-4| = 4-\sqrt{x-2}\). \{\sqrt{x-2}+3 + 4 - \sqrt{x-2} = 15\] \[7 = 15\] Это невозможно, поэтому в этом случае нет решений. Ответ: x=66 Задание 2. a) \(\sqrt{x^3+2x^2-29x-21} = 2-x\) Возведем обе части в квадрат: \[x^3+2x^2-29x-21 = (2-x)^2\] \[x^3+2x^2-29x-21 = 4 - 4x + x^2\] \[x^3+x^2-25x-25 = 0\] \[x^2(x+1)-25(x+1)=0\] \[(x^2-25)(x+1)=0\] \[(x-5)(x+5)(x+1)=0\] x = 5, x = -5, x = -1 Проверка: x = 5: \(\sqrt{5^3+2\cdot 5^2-29\cdot 5-21} = \sqrt{125+50-145-21} = \sqrt{9} = 3\) 2-5 = -3. Не подходит. x = -5: \(\sqrt{(-5)^3+2\cdot (-5)^2-29\cdot (-5)-21} = \sqrt{-125+50+145-21} = \sqrt{49} = 7\) 2-(-5) = 7. Подходит. x = -1: \(\sqrt{(-1)^3+2\cdot (-1)^2-29\cdot (-1)-21} = \sqrt{-1+2+29-21} = \sqrt{9} = 3\) 2-(-1) = 3. Подходит. Ответ: x = -5, x = -1 б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \((-\sqrt{23}; \sqrt{12}]\). Найденные корни уравнения: x = -5, x = -1 \(-\sqrt{23} \approx -4.8\) \(\sqrt{12} \approx 3.46\) Значит, x = -1 принадлежит промежутку, а x = -5 не принадлежит.

Ответ: 1) x = -8, x = 1; 2) x = \(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\); 3) x = 11; 4) x = -2; 5) x = 66; a) x = -5, x = -1; б) x = -1

Ты молодец! У тебя всё получится!