Задание 3. Решите систему уравнений { x+y-8=0, x² + y² - 82 = 0.

Привет! Помогу тебе решить эту систему уравнений. Тут главное - внимательность и аккуратность в вычислениях. Поехали!

Решение:

1. Выразим y через x из первого уравнения:

   \[x + y - 8 = 0\]

   \[y = 8 - x\]

2. Подставим выражение для y во второе уравнение:

   \[x^2 + (8 - x)^2 - 82 = 0\]

   \[x^2 + (64 - 16x + x^2) - 82 = 0\]

   \[2x^2 - 16x + 64 - 82 = 0\]

   \[2x^2 - 16x - 18 = 0\]

   Разделим уравнение на 2 для упрощения:

   \[x^2 - 8x - 9 = 0\]

3. Решим квадратное уравнение относительно x:

   Используем дискриминант:

   \[D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100\]

   \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9\]

   \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]

4. Найдем соответствующие значения y:

   Для x₁ = 9:

   \[y_1 = 8 - x_1 = 8 - 9 = -1\]

   Для x₂ = -1:

   \[y_2 = 8 - x_2 = 8 - (-1) = 8 + 1 = 9\]

Ответ: Решения системы уравнений: (9; -1) и (-1; 9).

Проверка за 10 секунд: Подставь найденные значения x и y в исходные уравнения и убедись, что они удовлетворяют обоим уравнениям.

Доп. профит: Уровень Эксперт: Если ты хорошо знаком с графиками, можно представить уравнения графически. Первое уравнение - прямая, второе - окружность. Решения - точки пересечения прямой и окружности!