Задание 4. Решите неравенство: 1) (x2+x-6)(x2+x-12)≤0; 2) (x²+x-2)(x2+x-20)≤0; 3) (x²+x-42)(x²+x−12)≤0; Задание 5. Решите неравенство: 1) (x²+2x-15)(x²-4x+3)≤0; 2) (x2+3x-18)(x²-5x+6)≤0; 3) (x²-2x-15)(x²-7x+10)≤0;

Привет! Разберем эти неравенства вместе. Логика такая: нужно найти корни каждого квадратного трехчлена и определить знаки на промежутках. Поехали!

Задание 4

1) \((x^2+x-6)(x^2+x-12)≤0\)

Разложим каждый квадратный трехчлен на множители, найдя их корни:

• \(x^2+x-6=0\). Корни: \(x_1 = -3, x_2 = 2\). Тогда \(x^2+x-6 = (x+3)(x-2)\)
• \(x^2+x-12=0\). Корни: \(x_3 = -4, x_4 = 3\). Тогда \(x^2+x-12 = (x+4)(x-3)\)

Получаем неравенство: \((x+3)(x-2)(x+4)(x-3)≤0\)

Отметим корни на числовой прямой: -4, -3, 2, 3. Определяем знаки на промежутках. Решением будет объединение промежутков, где выражение меньше или равно нулю.

Ответ: x ∈ [-4; -3] ∪ [2; 3]

2) \((x^2+x-2)(x^2+x-20)≤0\)

Разложим квадратные трехчлены на множители:

• \(x^2+x-2=0\). Корни: \(x_1 = -2, x_2 = 1\). Тогда \(x^2+x-2 = (x+2)(x-1)\)
• \(x^2+x-20=0\). Корни: \(x_3 = -5, x_4 = 4\). Тогда \(x^2+x-20 = (x+5)(x-4)\)

Получаем неравенство: \((x+2)(x-1)(x+5)(x-4)≤0\)

Отметим корни на числовой прямой: -5, -2, 1, 4. Определяем знаки на промежутках.

Ответ: x ∈ [-5; -2] ∪ [1; 4]

3) \((x^2+x-42)(x^2+x-12)≤0\)

Разложим квадратные трехчлены на множители:

• \(x^2+x-42=0\). Корни: \(x_1 = -7, x_2 = 6\). Тогда \(x^2+x-42 = (x+7)(x-6)\)
• \(x^2+x-12=0\). Корни: \(x_3 = -4, x_4 = 3\). Тогда \(x^2+x-12 = (x+4)(x-3)\)

Получаем неравенство: \((x+7)(x-6)(x+4)(x-3)≤0\)

Отметим корни на числовой прямой: -7, -4, 3, 6. Определяем знаки на промежутках.

Ответ: x ∈ [-7; -4] ∪ [3; 6]

Задание 5

1) \((x^2+2x-15)(x^2-4x+3)≤0\)

Разложим квадратные трехчлены на множители:

• \(x^2+2x-15=0\). Корни: \(x_1 = -5, x_2 = 3\). Тогда \(x^2+2x-15 = (x+5)(x-3)\)
• \(x^2-4x+3=0\). Корни: \(x_3 = 1, x_4 = 3\). Тогда \(x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)\)

Получаем неравенство: \((x+5)(x-3)(x-1)(x-3)≤0\) или \((x+5)(x-1)(x-3)^2≤0\)

Отметим корни на числовой прямой: -5, 1, 3. Так как \((x-3)^2\) всегда неотрицательно, нужно чтобы \((x+5)(x-1)≤0\) и \(x≠3\).

Ответ: x ∈ [-5; 1] ∪ {3}

2) \((x^2+3x-18)(x^2-5x+6)≤0\)

Разложим квадратные трехчлены на множители:

• \(x^2+3x-18=0\). Корни: \(x_1 = -6, x_2 = 3\). Тогда \(x^2+3x-18 = (x+6)(x-3)\)
• \(x^2-5x+6=0\). Корни: \(x_3 = 2, x_4 = 3\). Тогда \(x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)\)

Получаем неравенство: \((x+6)(x-3)(x-2)(x-3)≤0\) или \((x+6)(x-2)(x-3)^2≤0\)

Отметим корни на числовой прямой: -6, 2, 3. Так как \((x-3)^2\) всегда неотрицательно, нужно чтобы \((x+6)(x-2)≤0\) и \(x≠3\).

Ответ: x ∈ [-6; 2] ∪ {3}

3) \((x^2-2x-15)(x^2-7x+10)≤0\)

Разложим квадратные трехчлены на множители:

• \(x^2-2x-15=0\). Корни: \(x_1 = -3, x_2 = 5\). Тогда \(x^2-2x-15 = (x+3)(x-5)\)
• \(x^2-7x+10=0\). Корни: \(x_3 = 2, x_4 = 5\). Тогда \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\)

Получаем неравенство: \((x+3)(x-5)(x-2)(x-5)≤0\) или \((x+3)(x-2)(x-5)^2≤0\)

Отметим корни на числовой прямой: -3, 2, 5. Так как \((x-5)^2\) всегда неотрицательно, нужно чтобы \((x+3)(x-2)≤0\) и \(x≠5\).

Ответ: x ∈ [-3; 2] ∪ {5}