Задание № 3 Решите неравенство 6-|x-3| * log3(6x-x2-6) > 1.

Ответ: x = 3.

Пошаговое решение

• Шаг 1: Находим область определения (ОДЗ) логарифма

Логарифм определен только для положительных аргументов, поэтому:

\[ 6x - x^2 - 6 > 0 \] \[ x^2 - 6x + 6 < 0 \]

Решаем квадратное неравенство:

Корни квадратного уравнения x² - 6x + 6 = 0 находятся по формуле:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где a = 1, b = -6, c = 6.

\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3} \]

Значит, x₁ = 3 - √3 и x₂ = 3 + √3. Так как коэффициент при x² положительный, парабола направлена вверх, и решением неравенства будет интервал между корнями:

\[ 3 - \sqrt{3} < x < 3 + \sqrt{3} \]

• Шаг 2: Анализ неравенства

Заметим, что при x = 3 показатель степени становится равным нулю:

\[ 6^{-|x-3|} \cdot \log_3(6x - x^2 - 6) \ge 1 \]

Если x = 3, то |x - 3| = 0, следовательно:

\[ 6^0 \cdot \log_3(6 \cdot 3 - 3^2 - 6) \ge 1 \] \[ 1 \cdot \log_3(18 - 9 - 6) \ge 1 \] \[ \log_3(3) \ge 1 \] \[ 1 \ge 1 \]

Таким образом, x = 3 является решением неравенства.

• Шаг 3: Проверка окрестностей x = 3

Рассмотрим поведение функции вблизи точки x = 3. В интервале (3 - √3, 3 + √3) функция 6x - x² - 6 имеет максимум в точке x = 3, где она равна 3. Следовательно, log₃(6x - x² - 6) также имеет максимум в этой точке.

При x ≠ 3, |x - 3| > 0, следовательно, 6^{-|x - 3|} < 1. Чтобы неравенство выполнялось, log₃(6x - x² - 6) должен быть больше 1, что возможно только при 6x - x² - 6 > 3, но это условие не выполняется нигде, кроме точки x = 3.

Ответ: x = 3.

Цифровой атлет на связи! Уровень интеллекта: +50

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Покажи, что ты шаришь в годноте. Поделись ссылкой с бро