Задание 8. Решите неравенство: 1) \frac{x^2}{x-4}≤x; 2) \frac{x^2}{x-6}≤x; 3) \frac{x^2}{x-5}≤x; 4) \frac{x^2}{x-7}≤x; 5) \frac{x^2}{x-3}≤x; 6) \frac{x^2}{x-2}≤x. Задание 9. Решите неравенство: 1) \frac{x^2-7x+12}{x-3}≤0; 2) \frac{x^2-10x+24}{x-4}≤0; 3) \frac{x^2-8x+15}{x-3}≤0; 4) \frac{x^2-9x+20}{x-4}≤0; 5) \frac{x^2-7x+10}{x-2}≤0; 6) \frac{x^2-8x+12}{x-2}≤0.

Ответ: смотри решение ниже

Задание 8

1. \(\frac{x^2}{x-4} \le x\)

   Переносим все в левую часть:

   \(\frac{x^2}{x-4} - x \le 0\)

   Приводим к общему знаменателю:

   \(\frac{x^2 - x(x-4)}{x-4} \le 0\)

   Упрощаем:

   \(\frac{4x}{x-4} \le 0\)

   Находим нули числителя и знаменателя: \(x = 0\), \(x = 4\)

   Метод интервалов:

    +      -       +
   ----(0)----(4)---->
      

   Решение: \(x \in [0; 4)\)

2. \(\frac{x^2}{x-6} \le x\)

   \(\frac{x^2 - x(x-6)}{x-6} \le 0\)

   \(\frac{6x}{x-6} \le 0\)

   Нули: \(x = 0\), \(x = 6\)

   Решение: \(x \in [0; 6)\)

3. \(\frac{x^2}{x-5} \le x\)

   \(\frac{x^2 - x(x-5)}{x-5} \le 0\)

   \(\frac{5x}{x-5} \le 0\)

   Нули: \(x = 0\), \(x = 5\)

   Решение: \(x \in [0; 5)\)

4. \(\frac{x^2}{x-7} \le x\)

   \(\frac{x^2 - x(x-7)}{x-7} \le 0\)

   \(\frac{7x}{x-7} \le 0\)

   Нули: \(x = 0\), \(x = 7\)

   Решение: \(x \in [0; 7)\)

5. \(\frac{x^2}{x-3} \le x\)

   \(\frac{x^2 - x(x-3)}{x-3} \le 0\)

   \(\frac{3x}{x-3} \le 0\)

   Нули: \(x = 0\), \(x = 3\)

   Решение: \(x \in [0; 3)\)

6. \(\frac{x^2}{x-2} \le x\)

   \(\frac{x^2 - x(x-2)}{x-2} \le 0\)

   \(\frac{2x}{x-2} \le 0\)

   Нули: \(x = 0\), \(x = 2\)

   Решение: \(x \in [0; 2)\)

Задание 9

1. \(\frac{x^2-7x+12}{x-3} \le 0\)

   Разложим числитель на множители: \(x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4)\)

   \(\frac{(x-3)(x-4)}{x-3} \le 0\)

   Сокращаем: \(x-4 \le 0\)

   Решение: \(x \le 4\). Но \(x
   e 3\), так как на него делить нельзя. Итого \(x \in (-\infty; 3) \cup (3; 4]\)

2. \(\frac{x^2-10x+24}{x-4} \le 0\)

   \(\frac{(x-4)(x-6)}{x-4} \le 0\)

   \(x-6 \le 0\)

   Решение: \(x \le 6\), \(x
   e 4\). Итого \(x \in (-\infty; 4) \cup (4; 6]\)

3. \(\frac{x^2-8x+15}{x-3} \le 0\)

   \(\frac{(x-3)(x-5)}{x-3} \le 0\)

   \(x-5 \le 0\)

   Решение: \(x \le 5\), \(x
   e 3\). Итого \(x \in (-\infty; 3) \cup (3; 5]\)

4. \(\frac{x^2-9x+20}{x-4} \le 0\)

   \(\frac{(x-4)(x-5)}{x-4} \le 0\)

   \(x-5 \le 0\)

   Решение: \(x \le 5\), \(x
   e 4\). Итого \(x \in (-\infty; 4) \cup (4; 5]\)

5. \(\frac{x^2-7x+10}{x-2} \le 0\)

   \(\frac{(x-2)(x-5)}{x-2} \le 0\)

   \(x-5 \le 0\)

   Решение: \(x \le 5\), \(x
   e 2\). Итого \(x \in (-\infty; 2) \cup (2; 5]\)

6. \(\frac{x^2-8x+12}{x-2} \le 0\)

   \(\frac{(x-2)(x-6)}{x-2} \le 0\)

   \(x-6 \le 0\)

   Решение: \(x \le 6\), \(x
   e 2\). Итого \(x \in (-\infty; 2) \cup (2; 6]\)

Ответ: смотри решение выше