Задание 3. Решите логарифмические уравнения: a) log1(12-4x) = −3; 4 б) logo (x² + 5x) = log(x² + 1); в) 21g2x - 5lgx − 7 = 0.

Решение логарифмических уравнений:

а) \(\log_{\frac{1}{4}}(12-4x) = -3\) \(\left(\frac{1}{4}\right)^{-3} = 12-4x\) \(4^3 = 12-4x\) \(64 = 12-4x\) \(4x = 12-64\) \(4x = -52\) \(x = -13\) Проверим: \(12-4(-13) = 12 + 52 = 64 > 0\) Значит, \(x=-13\) является решением. б) \(\log_9(x^2 + 5x) = \log_9(x^2 + 1)\) Так как основания логарифмов равны, то аргументы должны быть равны: \(x^2 + 5x = x^2 + 1\) \(5x = 1\) \(x = \frac{1}{5}\) Проверим: \(\left(\frac{1}{5}\right)^2 + 5\cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{25} + 1 = \frac{26}{25} > 0\) \(\left(\frac{1}{5}\right)^2 + 1 = \frac{1}{25} + 1 = \frac{26}{25} > 0\) Значит, \(x = \frac{1}{5}\) является решением. в) \(2(\lg x)^2 - 5\lg x - 7 = 0\) Пусть \(y = \lg x\), тогда уравнение принимает вид: \(2y^2 - 5y - 7 = 0\) Решим это квадратное уравнение относительно y: \(D = (-5)^2 - 4(2)(-7) = 25 + 56 = 81\) \(y_1 = \frac{5 + \sqrt{81}}{2(2)} = \frac{5 + 9}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3.5\) \(y_2 = \frac{5 - \sqrt{81}}{2(2)} = \frac{5 - 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1\) Теперь найдем x: \(\lg x = 3.5 \Rightarrow x = 10^{3.5} = 10^{3} \cdot 10^{0.5} = 1000\sqrt{10}\) \(\lg x = -1 \Rightarrow x = 10^{-1} = \frac{1}{10} = 0.1\) Проверим: Для \(x = 1000\sqrt{10}\), \(x > 0\) Для \(x = 0.1\), \(x > 0\) Значит, оба корня являются решениями.

Ответ: a) x = -13; б) x = 1/5; в) x = 1000√10, x = 0.1

Отличная работа! Ты хорошо справился с решением логарифмических уравнений! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!