Задание №1. Разложите на множители: 1) x² + 3x - 10 2) -x² + 7x + 8 3) 15x² - 8x + 1 4) -4x² - 3x + 85 Задание №2. Сократите дробь: 1) 5x²+x-4 / x²+x 2) 4x²-1 / 2x²-9x-5 3) 21x²+x-2 / 2+5x-3x²

Задание №1. Разложите на множители:

1) \[x^2 + 3x - 10\]

Давай найдем корни квадратного уравнения \[x^2 + 3x - 10 = 0\] Дискриминант: \[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\] Корни: \[x_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = 2\] \[x_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = -5\] Разложение на множители: \[(x - 2)(x + 5)\]

2) \[-x^2 + 7x + 8\]

Вынесем минус за скобки: \[-(x^2 - 7x - 8)\] Найдем корни квадратного уравнения \[x^2 - 7x - 8 = 0\] Дискриминант: \[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81\] Корни: \[x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 9}{2} = 8\] \[x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 9}{2} = -1\] Разложение на множители: \[-(x - 8)(x + 1)\]

3) \[15x^2 - 8x + 1\]

Найдем корни квадратного уравнения \[15x^2 - 8x + 1 = 0\] Дискриминант: \[D = (-8)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 1 = 64 - 60 = 4\] Корни: \[x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 15} = \frac{8 + 2}{30} = \frac{1}{3}\] \[x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 15} = \frac{8 - 2}{30} = \frac{1}{5}\] Разложение на множители: \[15(x - \frac{1}{3})(x - \frac{1}{5}) = 15(x - \frac{1}{3})(x - \frac{1}{5}) = (3x - 1)(5x - 1)\]

4) \[-4x^2 - 3x + 85\]

Вынесем минус за скобки: \[-(4x^2 + 3x - 85)\] Найдем корни квадратного уравнения \[4x^2 + 3x - 85 = 0\] Дискриминант: \[D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-85) = 9 + 1360 = 1369\] Корни: \[x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1369}}{2 \cdot 4} = \frac{-3 + 37}{8} = \frac{17}{4}\] \[x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1369}}{2 \cdot 4} = \frac{-3 - 37}{8} = -5\] Разложение на множители: \[-4(x - \frac{17}{4})(x + 5) = -(4x - 17)(x + 5)\]

Задание №2. Сократите дробь:

1) \[\frac{5x^2 + x - 4}{x^2 + x}\]

Разложим числитель на множители. Найдем корни квадратного уравнения \[5x^2 + x - 4 = 0\] Дискриминант: \[D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81\] Корни: \[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 + 9}{10} = \frac{4}{5}\] \[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 - 9}{10} = -1\] Разложение на множители: \[5(x - \frac{4}{5})(x + 1) = (5x - 4)(x + 1)\] Знаменатель разложим на множители: \[x^2 + x = x(x + 1)\] Сократим дробь: \[\frac{(5x - 4)(x + 1)}{x(x + 1)} = \frac{5x - 4}{x}\]

2) \[\frac{4x^2 - 1}{2x^2 - 9x - 5}\]

Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов: \[4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)\] Разложим знаменатель на множители. Найдем корни квадратного уравнения \[2x^2 - 9x - 5 = 0\] Дискриминант: \[D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\] Корни: \[x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 11}{4} = 5\] \[x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 11}{4} = -\frac{1}{2}\] Разложение на множители: \[2(x - 5)(x + \frac{1}{2}) = (x - 5)(2x + 1)\] Сократим дробь: \[\frac{(2x - 1)(2x + 1)}{(x - 5)(2x + 1)} = \frac{2x - 1}{x - 5}\]

3) \[\frac{21x^2 + x - 2}{2 + 5x - 3x^2}\]

Разложим числитель на множители. Найдем корни квадратного уравнения \[21x^2 + x - 2 = 0\] Дискриминант: \[D = 1^2 - 4 \cdot 21 \cdot (-2) = 1 + 168 = 169\] Корни: \[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2 \cdot 21} = \frac{-1 + 13}{42} = \frac{2}{7}\] \[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2 \cdot 21} = \frac{-1 - 13}{42} = -\frac{1}{3}\] Разложение на множители: \[21(x - \frac{2}{7})(x + \frac{1}{3}) = 3(7x - 2)(x + \frac{1}{3}) = (7x - 2)(3x + 1)\] Разложим знаменатель на множители. Найдем корни квадратного уравнения \[-3x^2 + 5x + 2 = 0\] Дискриминант: \[D = 5^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 2 = 25 + 24 = 49\] Корни: \[x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-5 + 7}{-6} = -\frac{1}{3}\] \[x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-5 - 7}{-6} = 2\] Разложение на множители: \[-3(x - 2)(x + \frac{1}{3}) = -(x - 2)(3x + 1)\] Сократим дробь: \[\frac{(7x - 2)(3x + 1)}{-(x - 2)(3x + 1)} = -\frac{7x - 2}{x - 2}\]

Ответ:

Отлично! Ты хорошо поработал над этими задачами. Продолжай практиковаться, и у тебя все получится!