Задание 40. ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ. Домашнее задание по теме: «Теорема Пифагора» Вставьте пропущенное слово/слова. 1) В прямоугольном треугольнике __________ катетов __________ гипотенузы равен сумме __________. 2) Если квадрат одной стороны треугольника равен __________ других сторон, то треугольник прямоугольный. 3) Египетский треугольник это треугольник со сторонами __________ 4) Теорема __________ это важнейшая теорема геометрии. Определите, верно ли утверждение. 5) По теореме Пифагора гипотенуза равна сумме катетов. 6) Квадрат гипотенузы всегда больше квадрата катета. 7) Квадрат катета может быть больше квадрата гипотенузы. (18) Треугольник со сторонами 6, 8, 10 прямоугольный. (9) Если в треугольнике АВС ABAC + ВС", то ЛВ гипотенуза Выполните задание. Найти площадь и периметр указанных фигур. 10) В треугольнике АВС 11) В треугольнике РКМ 12) В треугольника АВС 20 - 90°. Найдите неизвест- ДМ = 90°. Найдите периметр известно, что АВ = 26, ную сторону треугольника, треугольника, используя ВС-21, АС-10. Определи используя данные рисунка. те, является ли данный тре- данные рисунка. угольник прямоугольным. В случае положительного отве та укажите длину гипотену вы.

Задание 40. Проверьте себя.

Вставьте пропущенное слово/слова.

1. В прямоугольном треугольнике против катетов лежит гипотенуза, равная сумме квадратов катетов.
2. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
3. Египетский треугольник – это треугольник со сторонами 3, 4 и 5.
4. Теорема Пифагора – это важнейшая теорема геометрии.

Определите, верно ли утверждение (Да/Нет)

1. По теореме Пифагора гипотенуза равна сумме катетов. Нет, гипотенуза в квадрате равна сумме квадратов катетов.
2. Квадрат гипотенузы всегда больше квадрата катета. Да, так как гипотенуза – самая большая сторона в прямоугольном треугольнике.
3. Квадрат катета может быть больше квадрата гипотенузы. Нет, так как гипотенуза – самая большая сторона в прямоугольном треугольнике.
4. Треугольник со сторонами 6, 8, 10 – прямоугольный. Да, так как 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10².
5. Если в треугольнике ABC AB² = AC² + BC², то AB – гипотенуза. Да, по теореме Пифагора.

Выполните задание. Найти площадь и периметр указанных фигур.

1. В треугольнике ABC ∠C = 90°. Найдите неизвестную сторону треугольника, используя данные рисунка.

Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов треугольника равна 180°. Тогда ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Подставим известные значения: ∠A + 30° + 90° = 180°. Отсюда ∠A = 180° - 30° - 90° = 60°.

Теперь мы знаем, что треугольник ABC – прямоугольный с углами 30°, 60° и 90°. В таком треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. В данном случае, AC – катет, лежащий против угла в 30°, и он равен 6. Значит, гипотенуза AB в два раза больше, то есть AB = 2 * AC = 2 * 6 = 12.

Теперь, когда мы знаем гипотенузу (AB = 12) и один катет (AC = 6), мы можем найти другой катет (BC) по теореме Пифагора: AB² = AC² + BC². Подставим известные значения: 12² = 6² + BC². Отсюда BC² = 144 - 36 = 108. Значит, BC = √108 = √(36 * 3) = 6√3.

11. В треугольнике PKM ∠M = 90°. Найдите периметр треугольника, используя данные рисунка.

Треугольник PKM – прямоугольный, где PM = 5, PK = 13. Найдём сторону MK по теореме Пифагора: PK² = PM² + MK². Подставим значения: 13² = 5² + MK². Отсюда MK² = 169 - 25 = 144. Значит, MK = √144 = 12.

Периметр треугольника PKM равен сумме всех его сторон: P = PM + MK + PK = 5 + 12 + 13 = 30.

12. В треугольнике ABC известно, что AB = 26, BC = 24, AC = 10. Определите, является ли данный треугольник прямоугольным. В случае положительного ответа укажите длину гипотенузы.

Чтобы определить, является ли треугольник прямоугольным, проверим, выполняется ли теорема Пифагора: AB² = AC² + BC². Подставим известные значения: 26² = 10² + 24². Вычислим: 26² = 676, 10² = 100, 24² = 576. Проверим: 676 = 100 + 576. Получаем: 676 = 676. Так как равенство выполняется, треугольник ABC – прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза является наибольшей стороной. В данном случае, AB = 26 – наибольшая сторона, следовательно, AB – гипотенуза.

13. ODST – параллелограмм.

В параллелограмме ODST известны стороны: OD = 12, OB = 16, BT = 20. Найдите периметр параллелограмма.

Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон. В параллелограмме противоположные стороны равны. Значит, OD = ST = 12 и OS = DT. Чтобы найти сторону DT, нужно сложить OB и BT: DT = OB + BT = 16 + 20 = 36. Теперь мы знаем все стороны параллелограмма: OD = 12, ST = 12, DT = 36, OS = 36. Периметр равен: P = OD + DT + TS + SO = 12 + 36 + 12 + 36 = 96.

14. MNHC – трапеция.

В трапеции MNHC известны стороны: MN = 6, NH = 6, HC = 10. Также известно, что углы при основании MH прямые (90°). Чтобы найти площадь и периметр трапеции, нужно знать все её стороны.

Проведём высоту из точки N к основанию HC. Назовём точку пересечения высоты и основания HC точкой K. Теперь у нас есть прямоугольник MNKH и прямоугольный треугольник NKC.

Так как MNKH – прямоугольник, то MK = NH = 6 и NK = MH. Найдём KC: KC = HC - MK = 10 - 6 = 4.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник NKC. В нём KC = 4 и NC = 6. Найдём NK по теореме Пифагора: NC² = NK² + KC². Подставим значения: 6² = NK² + 4². Отсюда NK² = 36 - 16 = 20. Значит, NK = √20 = √(4 * 5) = 2√5.

Так как NK = MH, то MH = 2√5.

Теперь мы знаем все стороны трапеции: MN = 6, NH = 6, HC = 10, MH = 2√5.

Периметр трапеции равен сумме всех её сторон: P = MN + NH + HC + CM = 6 + 6 + 10 + 2√5 = 22 + 2√5.

Площадь трапеции можно найти по формуле: S = ((a + b) / 2) * h, где a и b – основания трапеции, а h – высота. В данном случае, a = MH = 2√5, b = HC = 10, h = NK = 6. Подставим значения: S = ((2√5 + 10) / 2) * 6 = (√5 + 5) * 6 = 6√5 + 30.

15. CHIL – ромб. CP = 24, HL = 32.

В ромбе CHIL диагонали CP = 24 и HL = 32. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам в точке пересечения. Назовём точку пересечения диагоналей точкой O. Тогда CO = CP / 2 = 24 / 2 = 12 и HO = HL / 2 = 32 / 2 = 16.

Рассмотрим прямоугольный треугольник COH. В нём CO = 12 и HO = 16. Найдём сторону CH по теореме Пифагора: CH² = CO² + HO². Подставим значения: CH² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400. Значит, CH = √400 = 20.

Так как CHIL – ромб, то все его стороны равны: CH = HI = IL = LC = 20. Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон: P = 4 * CH = 4 * 20 = 80.

Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей: S = (CP * HL) / 2. Подставим значения: S = (24 * 32) / 2 = 768 / 2 = 384.

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что все формулы теоремы Пифагора применены правильно и что учтены свойства геометрических фигур.

Доп. профит: База Теорема Пифагора является основой для решения множества геометрических задач, и её понимание критически важно для дальнейшего изучения математики и физики.