Задание 3 Номер в КИМ: 13 Самопроверка а) Решите уравнение: 4sin²x + sinxcosx − 3cos²x = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2]

Решение:

а) Решим уравнение: 4sin²x + sinxcosx − 3cos²x = 0. Разделим обе части уравнения на cos²x (при условии, что cosx ≠ 0):

\[4\frac{sin^2x}{cos^2x} + \frac{sinxcosx}{cos^2x} - 3\frac{cos^2x}{cos^2x} = 0\]\[4tan^2x + tanx - 3 = 0\]

Пусть t = tanx, тогда уравнение примет вид:

\[4t^2 + t - 3 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49\]\[t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\]\[t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1\]

Тогда:

\[tanx = \frac{3}{4} \Rightarrow x = arctan\frac{3}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]\[tanx = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\]

б) Найдем все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2]

Для x = arctan(3/4) + πn:

\[2\pi \leq arctan\frac{3}{4} + \pi n \leq \frac{7\pi}{2}\]\[2 \leq \frac{arctan\frac{3}{4}}{\pi} + n \leq \frac{7}{2}\]\[2 - \frac{arctan\frac{3}{4}}{\pi} \leq n \leq \frac{7}{2} - \frac{arctan\frac{3}{4}}{\pi}\]

Так как arctan(3/4) ≈ 0.6435, то arctan(3/4) / π ≈ 0.2049:

\[2 - 0.2049 \leq n \leq 3.5 - 0.2049\]\[1.7951 \leq n \leq 3.2951\]

n = 2, 3

\[x_1 = arctan\frac{3}{4} + 2\pi\]\[x_2 = arctan\frac{3}{4} + 3\pi\]

Для x = -π/4 + πk:

\[2\pi \leq -\frac{\pi}{4} + \pi k \leq \frac{7\pi}{2}\]\[2 \leq -\frac{1}{4} + k \leq \frac{7}{2}\]\[2 + \frac{1}{4} \leq k \leq \frac{7}{2} + \frac{1}{4}\]\[2.25 \leq k \leq 3.75\]

k = 3

\[x_3 = -\frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{11\pi}{4}\]

Ответ: а) x = arctan(3/4) + πn, n ∈ ℤ; x = -π/4 + πk, k ∈ ℤ b) x = arctan(3/4) + 2π; x = arctan(3/4) + 3π; x = 11π/4