Задание № 1 Найти указанные пределы: a) lim 16x5 + 4x7-7x3-6 x→∞ 13x7 + 25x ; 6) lim √1+ 15x2-4 x→1 x2 - x ; в) lim x x→0 sin(14x).

a) Предел функции при стремлении x к бесконечности.

Для нахождения предела функции $$ \lim_{x \to \infty} \frac{16x^5 + 4x^7 - 7x^3 - 6}{13x^7 + 25x} $$ разделим числитель и знаменатель на $$x^7$$ (наивысшую степень x в знаменателе):

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{16x^5}{x^7} + \frac{4x^7}{x^7} - \frac{7x^3}{x^7} - \frac{6}{x^7}}{\frac{13x^7}{x^7} + \frac{25x}{x^7}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{16}{x^2} + 4 - \frac{7}{x^4} - \frac{6}{x^7}}{13 + \frac{25}{x^6}} $$ Когда $$x \to \infty$$, все члены вида $$\frac{c}{x^n}$$ стремятся к 0, где c - константа, n > 0. $$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{16}{x^2} + 4 - \frac{7}{x^4} - \frac{6}{x^7}}{13 + \frac{25}{x^6}} = \frac{0 + 4 - 0 - 0}{13 + 0} = \frac{4}{13} $$

б) Предел функции при стремлении x к 1.

Для нахождения предела функции $$ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{1 + 15x^2} - 4}{x^2 - x} $$ применим правило Лопиталя, поскольку при $$x = 1$$ мы имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$. Найдем производные числителя и знаменателя:

Производная числителя:

$$ \frac{d}{dx} (\sqrt{1 + 15x^2} - 4) = \frac{1}{2\sqrt{1 + 15x^2}} \cdot 30x = \frac{15x}{\sqrt{1 + 15x^2}} $$

Производная знаменателя:

$$ \frac{d}{dx} (x^2 - x) = 2x - 1 $$

Тогда, по правилу Лопиталя:

$$ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{1 + 15x^2} - 4}{x^2 - x} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{15x}{\sqrt{1 + 15x^2}}}{2x - 1} = \frac{\frac{15(1)}{\sqrt{1 + 15(1)^2}}}{2(1) - 1} = \frac{\frac{15}{\sqrt{16}}}{1} = \frac{15}{4} $$

в) Предел функции при стремлении x к 0.

Для нахождения предела функции $$ \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(14x)} $$ используем первый замечательный предел $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$ $$ \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(14x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin(14x)}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{14 \cdot \frac{\sin(14x)}{14x}} $$ $$ = \frac{1}{14} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin(14x)}{14x}} = \frac{1}{14} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{14} $$

Ответ: a) 4/13; б) 15/4; в) 1/14