Задание 11. Найти дифференциал дy функции в произвольной точке: 11.16. y = 2 arctg√2x-2;

Для нахождения дифференциала функции необходимо найти ее производную и умножить на дифференциал аргумента. В данном случае функция имеет вид:

$$y = 2^{\operatorname{arctg}(\sqrt{2x-2})}$$

Сначала найдем производную данной функции. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$$

Введем промежуточные переменные:

$$u = \operatorname{arctg}(v)$$ $$v = \sqrt{2x-2}$$

Тогда:

$$y = 2^u$$

Найдем производные по промежуточным переменным:

$$\frac{dy}{du} = 2^u \ln(2) = 2^{\operatorname{arctg}(\sqrt{2x-2})} \ln(2)$$ $$\frac{du}{dv} = \frac{1}{1+v^2} = \frac{1}{1+(\sqrt{2x-2})^2} = \frac{1}{1+2x-2} = \frac{1}{2x-1}$$ $$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{2x-2}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x-2}}$$

Теперь найдем производную функции y по x, перемножив все производные:

$$\frac{dy}{dx} = 2^{\operatorname{arctg}(\sqrt{2x-2})} \ln(2) \cdot \frac{1}{2x-1} \cdot \frac{1}{\sqrt{2x-2}}$$

Тогда дифференциал функции dy равен:

$$dy = \frac{dy}{dx} dx = 2^{\operatorname{arctg}(\sqrt{2x-2})} \ln(2) \cdot \frac{1}{2x-1} \cdot \frac{1}{\sqrt{2x-2}} dx$$

Таким образом, дифференциал функции y = 2arctg√(2x-2) равен:

$$dy = \frac{2^{\operatorname{arctg}(\sqrt{2x-2})} \ln(2)}{(2x-1)\sqrt{2x-2}} dx$$

Ответ: $$dy = \frac{2^{\operatorname{arctg}(\sqrt{2x-2})} \ln(2)}{(2x-1)\sqrt{2x-2}} dx$$