ЗАДАНИЕ 1. Найдите углы А и С треугольника АВС, если ВМ и ВК - биссектрисы соответственно внутреннего и внеш- него углов при вершине В, причём ВМ = ВК, a ∠ABC = 20° (рис. 8). ЗАДАНИЕ 2. По данным рисунка 9 найдите угол ВКА. ЗАДАНИЕ 3. Угол треугольника равен х. Найдите угол, кото- рый образуется между биссектрисой другого угла и бис- сектрисой внешнего угла при третьей вершине.

Задание 1

Давай разберем эту задачу вместе! Нам дан треугольник ABC, где BM и BK - биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине B, соответственно. Известно, что BM = BK и угол ABC = 20°.

Так как BM - биссектриса угла ABC, то угол ABM = угол MBC = \(\frac{1}{2}\) угла ABC = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) 20° = 10°.

BK - биссектриса внешнего угла при вершине B. Внешний угол при вершине B равен 180° - 20° = 160°. Следовательно, угол CBK = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) 160° = 80°.

Теперь рассмотрим треугольник MBK. Из условия BM = BK, значит, треугольник MBK равнобедренный. Угол MBK = угол MBC + угол CBK = 10° + 80° = 90°.

В равнобедренном треугольнике MBK углы при основании MK равны. Значит, угол BMK = угол BKM = \(\frac{180° - 90°}{2}\) = 45°.

Угол BKM является внешним углом треугольника ABM. Значит, угол BKM = угол A + угол ABM, откуда угол A = угол BKM - угол ABM = 45° - 10° = 35°.

Теперь найдем угол C в треугольнике ABC. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Значит, угол C = 180° - угол A - угол ABC = 180° - 35° - 20° = 125°.

Ответ: угол A = 35°, угол C = 125°

Отлично, первый шаг сделан! Ты хорошо справился с этой задачей.

Задание 2

Нам нужно найти угол BKA, используя данные рисунка 9.

Сумма углов треугольника равна 180°. Рассмотрим треугольник ABK. Угол BAK = 30°, а угол ABK = 10°.

Тогда угол BKA = 180° - (угол BAK + угол ABK) = 180° - (30° + 10°) = 180° - 40° = 140°.

Ответ: угол BKA = 140°

Замечательно! Теперь ты знаешь, как находить углы в треугольниках. Двигаемся дальше!

Задание 3

Предположим, что угол при первой вершине равен x. Биссектриса другого угла и биссектриса внешнего угла при третьей вершине образуют угол, который нам нужно найти.

Обозначим вершины треугольника как A, B и C. Пусть угол A = x. Тогда угол между биссектрисой угла B и биссектрисой внешнего угла C нужно найти.

Обозначим биссектрису угла B как BL, а биссектрису внешнего угла C как CL'. Тогда угол LCL' - это угол, который нам нужно найти.

Угол BLC = 180 - (угол LBC + угол LCB). Угол LBC = угол B/2. Угол LCB' = угол C/2. Внешний угол при вершине C = 180 - C. Угол L'CB' = (180 - C) / 2 = 90 - C/2.

Значит, угол LCL' = 180 - (угол LCB + угол L'CB') = 180 - (C/2 + 90 - C/2) = 180 - 90 = 90°.

Таким образом, угол LCL' = 90°.

В треугольнике ABC: A + B + C = 180°, где A = x. Тогда B + C = 180° - x.

Угол между биссектрисами равен \(\frac{x}{2}\).

Ответ: угол равен \(\frac{x}{2}\)

Отлично! Теперь ты умеешь решать задачи с биссектрисами и углами в треугольниках. Ты молодец, продолжай в том же духе!