Задание №1. Найдите математическое ожидание М(X), дисперсию D(X) и среднее квадратичное отклонение б (Х). Вариант 2. X P -1 0.2 -2 0..3 -3 0,2 -10 0.05 -12 0.1 -20 0,006 -30 0,1 -40 0,034 Задание №2. Дискретные независимые случайные величины заданы законами рас- пределения. Найти математическое ожидание произведения М (XY) и М (2Х). Вариант 2. X P 2 0604 0,6 0,4 Y1 p 1.25 0.8 0.2 Задание №3. Вариант 2. Производится 4 выстрела с вероятностью по падения в цель р₁=0,3 р₂=0,4. р3=0,6 и р=0,5. Найти математическое ожидание общего числа попадания. Задание №4. Вариант 2. Вероятность отказа детали за время испытания на надежность ранна 0,3. Найти математическое ожидание числа отказавших деталей, если испытанию будут подвергнуты 12 деталей.

Привет! Давай вместе разберем эти задания. Будем решать их по порядку.

Задание №1

Для дискретной случайной величины X математическое ожидание M(X) вычисляется по формуле:

\[M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i\]

где \(x_i\) - значения случайной величины, а \(p_i\) - соответствующие вероятности.

1. Найдем математическое ожидание M(X):

Подставим значения из таблицы:

\[M(X) = (-1 \cdot 0.2) + (-2 \cdot 0.3) + (-3 \cdot 0.2) + (-10 \cdot 0.05) + (-12 \cdot 0.1) + (-20 \cdot 0.006) + (-30 \cdot 0.1) + (-40 \cdot 0.034)\] \[M(X) = -0.2 - 0.6 - 0.6 - 0.5 - 1.2 - 0.12 - 3 - 1.36\] \[M(X) = -7.58\]

2. Найдем дисперсию D(X):

Дисперсия вычисляется по формуле:

\[D(X) = M(X^2) - (M(X))^2\]

Сначала найдем M(X²):

\[M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot p_i\]

Подставим значения из таблицы:

\[M(X^2) = ((-1)^2 \cdot 0.2) + ((-2)^2 \cdot 0.3) + ((-3)^2 \cdot 0.2) + ((-10)^2 \cdot 0.05) + ((-12)^2 \cdot 0.1) + ((-20)^2 \cdot 0.006) + ((-30)^2 \cdot 0.1) + ((-40)^2 \cdot 0.034)\] \[M(X^2) = (1 \cdot 0.2) + (4 \cdot 0.3) + (9 \cdot 0.2) + (100 \cdot 0.05) + (144 \cdot 0.1) + (400 \cdot 0.006) + (900 \cdot 0.1) + (1600 \cdot 0.034)\] \[M(X^2) = 0.2 + 1.2 + 1.8 + 5 + 14.4 + 2.4 + 90 + 54.4\] \[M(X^2) = 169.4\]

Теперь найдем дисперсию:

\[D(X) = 169.4 - (-7.58)^2\] \[D(X) = 169.4 - 57.4564\] \[D(X) = 111.9436\]

3. Найдем среднее квадратичное отклонение δ(X):

Среднее квадратичное отклонение - это квадратный корень из дисперсии:

\[\delta(X) = \sqrt{D(X)}\] \[\delta(X) = \sqrt{111.9436}\] \[\delta(X) \approx 10.58\]

Задание №2

Для дискретных независимых случайных величин X и Y математическое ожидание произведения M(XY) и M(2Y) вычисляются следующим образом:

1. Найдем M(XY):

Сначала найдем M(X) и M(Y):

\[M(X) = (2 \cdot 0.6) + (1 \cdot 0.4) = 1.2 + 0.4 = 1.6\] \[M(Y) = (1 \cdot 0.8) + (1.25 \cdot 0.2) = 0.8 + 0.25 = 1.05\]

Так как X и Y независимы, то:

\[M(XY) = M(X) \cdot M(Y)\] \[M(XY) = 1.6 \cdot 1.05 = 1.68\]

2. Найдем M(2Y):

\[M(2Y) = 2 \cdot M(Y)\] \[M(2Y) = 2 \cdot 1.05 = 2.1\]

Задание №3

Производится 4 выстрела с вероятностями попадания в цель p₁=0.3, p₂=0.4, p₃=0.6 и p₄=0.5.

Найдем математическое ожидание общего числа попаданий.

Пусть X_i - случайная величина, равная 1, если i-й выстрел попал в цель, и 0, если не попал.

Тогда математическое ожидание числа попаданий M(X) равно сумме математических ожиданий каждого выстрела:

\[M(X) = M(X_1) + M(X_2) + M(X_3) + M(X_4)\]

Математическое ожидание для каждого выстрела равно вероятности попадания:

\[M(X_1) = p_1 = 0.3\] \[M(X_2) = p_2 = 0.4\] \[M(X_3) = p_3 = 0.6\] \[M(X_4) = p_4 = 0.5\]

Следовательно:

\[M(X) = 0.3 + 0.4 + 0.6 + 0.5 = 1.8\]

Задание №4

Вероятность отказа детали за время испытания равна 0.3. Испытанию подвергнуты 12 деталей.

Найдем математическое ожидание числа отказавших деталей.

Это задача на биномиальное распределение. Математическое ожидание числа отказавших деталей M(X) вычисляется по формуле:

\[M(X) = n \cdot p\]

где n - количество деталей, p - вероятность отказа.

В нашем случае n = 12, p = 0.3.

\[M(X) = 12 \cdot 0.3 = 3.6\]