Задание 5. Геометрия (25 баллов) АВС и ВСД – треугольники с целочисленными сторонами. Периметры треугольников составляют 10 и 20 соответственно. Определите, какое наименьшее значение может принимать длина стороны СД. Запишите решение и выберите верный вариант ответа. A) 2 B) 5 C) 7 D) 9 E) 12 F) 14

Пусть периметр треугольника ABC равен 10, а периметр треугольника BCD равен 20. Пусть сторона BC является общей стороной для обоих треугольников, а сторона CD является искомой. Обозначим длины сторон как AB = a, AC = b, BC = x, BD = y, CD = z.

Тогда мы имеем два уравнения для периметров:

1. a + b + x = 10
2. x + y + z = 20

Выразим x из первого уравнения: x = 10 - a - b

Подставим это выражение во второе уравнение: 10 - a - b + y + z = 20

Преобразуем уравнение: z = 10 + a + b - y

Нам нужно найти минимальное значение z. Мы знаем, что стороны треугольника должны удовлетворять неравенству треугольника:

• Для треугольника ABC: a + b > x, a + x > b, b + x > a
• Для треугольника BCD: x + y > z, x + z > y, y + z > x

Из первого неравенства треугольника для ABC следует, что a + b > 10 - a - b, значит a + b > 5. Так как a и b - целые числа, то минимальное значение a + b = 6.

Из второго неравенства треугольника для BCD следует, что y + z > x, значит y + z > 10 - a - b, или y + z > 10 - 6, то y + z > 4. Так как y и z - целые числа, то минимальное значение y + z = 5.

Теперь вернемся к уравнению z = 10 + a + b - y. Чтобы z был минимальным, нужно чтобы (a + b) было минимальным, а y - максимальным.

Мы знаем, что a + b > 5. Пусть a + b = 6. Тогда x = 10 - 6 = 4. Тогда, x + y + z = 20, следовательно 4 + y + z = 20, y + z = 16. Однако, мы знаем, что минимальное значение y + z = 5. Значит, мы допустили ошибку.

Давай попробуем, чтобы z был минимальным. Мы знаем, что x + y + z = 20 и x + y > z, значит 20 - z > z, 20 > 2z, z < 10. z не может быть 10, так как тогда x + y = 10, но x + y > z, значит z не может быть 10.

Предположим z = 2. Тогда x + y = 18. Для треугольника BCD: x + z > y и y + z > x. x + 2 > y и y + 2 > x. x - y < 2 и y - x < 2. |x - y| < 2

Так как a + b + x = 10, a + b = 10 - x

Рассмотрим вариант, когда z = 5.

Тогда x + y = 15. x + y > z => 15 > 5 - верно

z = 5.

Ответ: B) 5

Чтобы найти минимальную длину стороны CD, используйте неравенство треугольника и уравнения периметров.

Уровень Эксперт: Всегда помните о неравенстве треугольника. Это краеугольный камень решения подобных задач.