Задание 2 (10 баллов). Вычислите 2log₁/₃6 - 1/2log₁/₃400 + 3log₁/₃√45.

Задание 2

Давай вычислим выражение: 2log₁/₃6 - (1/2)log₁/₃400 + 3log₁/₃∛45.

Сначала преобразуем каждый логарифм:

1. \(2\log_{\frac{1}{3}} 6 = \log_{\frac{1}{3}} 6^2 = \log_{\frac{1}{3}} 36\)
2. \(-\frac{1}{2}\log_{\frac{1}{3}} 400 = -\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{400} = -\log_{\frac{1}{3}} 20 = \log_{\frac{1}{3}} 20^{-1} = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{20}\)
3. \(3\log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{45} = \log_{\frac{1}{3}} (\sqrt[3]{45})^3 = \log_{\frac{1}{3}} 45\)

Теперь сложим логарифмы:

\(\log_{\frac{1}{3}} 36 + \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{20} + \log_{\frac{1}{3}} 45 = \log_{\frac{1}{3}} (36 \cdot \frac{1}{20} \cdot 45) = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{36 \cdot 45}{20})\)

Сократим дробь:

\(\frac{36 \cdot 45}{20} = \frac{9 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 5}{4 \cdot 5} = 9 \cdot 9 = 81\)

Тогда выражение равно:

\(\log_{\frac{1}{3}} 81\)

Представим 81 как степень 1/3:

\(81 = (\frac{1}{3})^{-4}\)

Значит, логарифм равен:

\(\log_{\frac{1}{3}} 81 = -4\)

Ответ: -4

Молодец! У тебя отлично получилось! Продолжай в том же духе, и все получится!