Задание 1 (48 баллов). Решите уравнения: 2x + 3 4-x2 A) ------- + -------- = -1 (16 баллов); 5 8 Б) x²-2x+√7-x=√7-x+48 (16 баллов); B) (x + 5)⁴ + (x + 5)² - 12 = 0 (16 баллов). Задание 2 (32 балла). Решите неравенства: A)4+ (2x + 3)(2x-1) > (2x + 7)² (16 баллов); 5-√21 Б) --------- > 0 (16 баллов). x² - 10x + 9 Задание 3 (20 баллов). Решите систему уравнений: (3x² - 8x = y (9x-24 = y .

Привет! Давай решим эти интересные задачи по алгебре. Уверена, у тебя всё получится!

Задание 1: Решите уравнения

А) \[\frac{2x + 3}{5} + \frac{4 - x^2}{8} = -1\]

1. Умножим обе части уравнения на 40, чтобы избавиться от дробей: \[8(2x + 3) + 5(4 - x^2) = -40\]
2. Раскроем скобки: \[16x + 24 + 20 - 5x^2 = -40\]
3. Перенесем все в одну сторону и упростим: \[-5x^2 + 16x + 84 = 0\] Умножим на -1, чтобы коэффициент при x² был положительным: \[5x^2 - 16x - 84 = 0\]
4. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-84) = 256 + 1680 = 1936\] \[\sqrt{D} = 44\]
5. Найдем корни: \[x_1 = \frac{16 + 44}{10} = \frac{60}{10} = 6\] \[x_2 = \frac{16 - 44}{10} = \frac{-28}{10} = -2.8\]

Ответ: x₁ = 6, x₂ = -2.8

Б) \[x^2 - 2x + \sqrt{7 - x} = \sqrt{7 - x} + 48\]

1. Вычтем \(\sqrt{7-x}\) из обеих частей уравнения: \[x^2 - 2x = 48\]
2. Перенесем все в одну сторону: \[x^2 - 2x - 48 = 0\]
3. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196\] \[\sqrt{D} = 14\]
4. Найдем корни: \[x_1 = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8\] \[x_2 = \frac{2 - 14}{2} = \frac{-12}{2} = -6\]
5. Проверим корни, так как есть корень: \(x = 8\): \(\sqrt{7 - 8}\) - не существует. \(x = -6\): \(\sqrt{7 - (-6)} = \sqrt{13}\) - существует.

Ответ: x = -6

В) \((x + 5)^4 + (x + 5)^2 - 12 = 0\)

1. Заменим \(y = (x + 5)^2\), тогда уравнение примет вид: \[y^2 + y - 12 = 0\]
2. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\] \[\sqrt{D} = 7\]
3. Найдем корни: \[y_1 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3\] \[y_2 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4\]
4. Вернемся к замене: \((x + 5)^2 = 3\) или \((x + 5)^2 = -4\) (не имеет решений). \[x + 5 = \pm \sqrt{3}\] \[x = -5 \pm \sqrt{3}\]

Ответ: x = -5 + √3, x = -5 - √3

Задание 2: Решите неравенства

А) \(4 + (2x + 3)(2x - 1) > (2x + 7)^2\)

1. Раскроем скобки: \[4 + 4x^2 + 4x - 3 > 4x^2 + 28x + 49\]
2. Упростим и перенесем все в одну сторону: \[4x^2 + 4x + 1 > 4x^2 + 28x + 49\] \[0 > 24x + 48\] \[-48 > 24x\]
3. Разделим обе части на 24: \[x < -2\]

Ответ: x < -2

Б) \(\frac{5 - \sqrt{21}}{x^2 - 10x + 9} > 0\)

1. Заметим, что \(5 - \sqrt{21} > 0\), так как \(5 = \sqrt{25}\) и \(\sqrt{25} > \sqrt{21}\). Значит, неравенство выполняется, когда знаменатель положителен: \[x^2 - 10x + 9 > 0\]
2. Найдем корни квадратного трехчлена: \[x^2 - 10x + 9 = 0\] \[D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64\] \[\sqrt{D} = 8\] \[x_1 = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9\] \[x_2 = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1\]
3. Разложим на множители: \[(x - 1)(x - 9) > 0\]
4. Решим неравенство методом интервалов. Отметим точки 1 и 9 на числовой прямой. Расставим знаки на интервалах: \((-\infty; 1)\) - знак «+», \((1; 9)\) - знак «-», \((9; +\infty)\) - знак «+».
5. Выберем интервалы, где выражение больше нуля: \[x < 1\] или \[x > 9\]

Ответ: x < 1 или x > 9

Задание 3: Решите систему уравнений

\[\begin{cases} 3x^2 - 8x = y \\ 9x - 24 = y \end{cases}\]

1. Приравняем выражения для y: \[3x^2 - 8x = 9x - 24\]
2. Перенесем все в одну сторону: \[3x^2 - 17x + 24 = 0\]
3. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 24 = 289 - 288 = 1\] \[\sqrt{D} = 1\]
4. Найдем корни: \[x_1 = \frac{17 + 1}{6} = \frac{18}{6} = 3\] \[x_2 = \frac{17 - 1}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}\]
5. Найдем соответствующие значения y: Если \(x = 3\), то \(y = 9 \cdot 3 - 24 = 27 - 24 = 3\). Если \(x = \frac{8}{3}\), то \(y = 9 \cdot \frac{8}{3} - 24 = 24 - 24 = 0\).

Ответ: (3; 3), (8/3; 0)

Ответ: A) x₁ = 6, x₂ = -2.8; Б) x = -6; В) x = -5 + √3, x = -5 - √3; Задание 2: A) x < -2; Б) x < 1 или x > 9; Задание 3: (3; 3), (8/3; 0)

Молодец! Ты отлично справился с этими задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!