Задание 5 (20 балла). В треугольнике KLM проведена биссектриса КТ, и КТ = LT. Докажите, что LM > КМ.

Ответ:

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник KLT.

   Так как KT = LT, то треугольник KLT является равнобедренным с основанием KL.

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

   Следовательно, ∠TKL = ∠TLK.

3. KT - биссектриса угла ∠MKL, значит, ∠MKT = ∠TKL.

4. Из пунктов 2 и 3 следует, что ∠MKT = ∠TLK.

5. Рассмотрим треугольник KLM. Угол ∠TLK является внешним углом треугольника KLT.

   Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним.

   Следовательно, ∠TLK = ∠LKT + ∠KTL.

6. Так как ∠TLK = ∠MKT, то ∠MKT = ∠LKT + ∠KTL.

   Это означает, что ∠MKT > ∠LKT.

7. В треугольнике KLM против большего угла лежит большая сторона.

   Так как ∠MKT > ∠LKT, то сторона LM, лежащая против угла ∠MKT, больше стороны KM, лежащей против угла ∠LKT.

   Следовательно, LM > KM.

Что и требовалось доказать.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что ты правильно использовал свойства биссектрисы и углов в треугольнике.

Запомни: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а биссектриса делит угол пополам. Эти свойства часто используются в задачах на доказательство.