Задание 4 (20 балла). В равнобедренном треугольнике АВС биссектриса CL равна основанию АС. Найдите градусную меру угла АВС.

Привет! Разберём задачку про равнобедренный треугольник и его углы. Звучит интересно? Поехали!

Решение:

1. Обозначим углы:

   • ∠BAC = ∠BCA = α (углы при основании равнобедренного треугольника)
   • ∠ABC = β (угол, который нужно найти)

2. Так как CL — биссектриса угла BCA, то ∠ACL = ∠LCB = α/2.

3. Рассмотрим треугольник ALC. В нём AC = CL (по условию), значит, он равнобедренный, и углы при основании равны:

   • ∠CAL = ∠CLA = α

4. Теперь найдем угол ALC:

   • ∠ALC = 180° - ∠CAL - ∠ACL = 180° - α - α/2
   • ∠ALC = 180° - \(\frac{3α}{2}\)

5. Угол BCL — внешний угол треугольника ALC, поэтому:

   • ∠BCL = ∠CAL + ∠ALC
   • \(\frac{α}{2}\) = α + 180° - \(\frac{3α}{2}\)

6. Решим уравнение относительно α:

   • 2α = 180°
   • α = 36°

7. Теперь найдем угол ABC (β), используя сумму углов треугольника ABC:

   • β = 180° - 2α
   • β = 180° - 2 \cdot 36°
   • β = 180° - 72°
   • β = 108°

Ответ: градусная мера угла ABC равна 108°.