Задание № 3 (2 балла) Докажите тождество: 1. \frac{sin 4a-cos 4a tg 2a}{sin 4a+cos 4a ctg 2a} = tg^2 2a; 2. \frac{cos^\frac{\gamma}{2}+ cos^\frac{3\gamma}{2}+cos \gamma+1}{2cos^2\frac{\gamma}{2}-1+cos^\frac{\gamma}{2}} = 2 cos \frac{\gamma}{2}.

Решение 1

Для доказательства тождества \(\frac{\sin 4\alpha - \cos 4\alpha \cdot \tan 2\alpha}{\sin 4\alpha + \cos 4\alpha \cdot \cot 2\alpha} = \tan^2 2\alpha\), начнем с упрощения левой части.

Логика такая:

1. Выразим \(\tan 2\alpha\) и \(\cot 2\alpha\) через синус и косинус:
2. \(\tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}\) и \(\cot 2\alpha = \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}\).
3. Подставим эти выражения в левую часть:

\[\frac{\sin 4\alpha - \cos 4\alpha \cdot \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}}{\sin 4\alpha + \cos 4\alpha \cdot \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}}\]

1. Приведем к общему знаменателю в числителе и знаменателе:

\[\frac{\frac{\sin 4\alpha \cdot \cos 2\alpha - \cos 4\alpha \cdot \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}}{\frac{\sin 4\alpha \cdot \sin 2\alpha + \cos 4\alpha \cdot \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}}\]

1. Применим формулы синуса разности и косинуса разности:
2. \(\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\)
3. \(\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\)

\[\frac{\frac{\sin(4\alpha - 2\alpha)}{\cos 2\alpha}}{\frac{\cos(4\alpha - 2\alpha)}{\sin 2\alpha}}\]

1. Упростим:

\[\frac{\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}}{\frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}}\]

1. Разделим дроби:

\[\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} \cdot \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\sin^2 2\alpha}{\cos^2 2\alpha}\]

1. Получим:

\[\tan^2 2\alpha\]

Что и требовалось доказать.

Решение 2

Для доказательства тождества \(\frac{\cos{\frac{\gamma}{2}} + \cos^{\frac{3\gamma}{2}} + \cos{\gamma} + 1}{2\cos^2{\frac{\gamma}{2}} - 1 + \cos{\frac{\gamma}{2}}} = 2\cos{\frac{\gamma}{2}}\), упростим левую часть.

Смотри, тут всё просто:

1. Преобразуем \(2\cos^2{\frac{\gamma}{2}} - 1\) в \(\cos{\gamma}\):

\[\frac{\cos{\frac{\gamma}{2}} + \cos^3{\frac{\gamma}{2}} + \cos{\gamma} + 1}{\cos{\gamma} + \cos{\frac{\gamma}{2}}}\]

1. Сгруппируем члены в числителе:

\[\frac{(\cos{\frac{\gamma}{2}} + \cos^3{\frac{\gamma}{2}}) + (\cos{\gamma} + 1)}{\cos{\gamma} + \cos{\frac{\gamma}{2}}}\]

1. Вынесем общие множители:

\[\frac{\cos{\frac{\gamma}{2}}(1 + \cos^2{\frac{\gamma}{2}}) + 2\cos^2{\frac{\gamma}{2}}}{\cos{\gamma} + \cos{\frac{\gamma}{2}}}\]

1. Заменим \(\cos \gamma\) на \(2\cos^2{\frac{\gamma}{2}} - 1\):

\[\frac{\cos{\frac{\gamma}{2}}(1 + \cos^2{\frac{\gamma}{2}}) + (1+\cos{\gamma})}{\cos{\gamma} + \cos{\frac{\gamma}{2}}}\] \[\frac{\cos{\frac{\gamma}{2}}(1 + \cos^2{\frac{\gamma}{2}}) + (1+2cos^2{\frac{\gamma}{2}} - 1)}{2cos^2{\frac{\gamma}{2}} - 1 + \cos{\frac{\gamma}{2}}}\] \[\frac{\cos{\frac{\gamma}{2}}(1 + \cos^2{\frac{\gamma}{2}}) + 2cos^2{\frac{\gamma}{2}}}{2cos^2{\frac{\gamma}{2}} - 1 + \cos{\frac{\gamma}{2}}}\]

1. Продолжим упрощать:

\[\frac{\cos{\frac{\gamma}{2}}(1 + \cos^2{\frac{\gamma}{2}}) + 1 + \cos{\gamma}}{\cos{\gamma} + \cos{\frac{\gamma}{2}}}\]

1. Разложим числитель на множители:

\[\frac{(\cos{\gamma} + 1) + \cos{\frac{\gamma}{2}}(1 + \cos^2{\frac{\gamma}{2}})}{\cos{\gamma} + \cos{\frac{\gamma}{2}}}\]

1. Преобразуем \(\cos \gamma + 1\) в \(2\cos^2{\frac{\gamma}{2}}\) в числителе:

\[\frac{2\cos^2{\frac{\gamma}{2}} + \cos{\frac{\gamma}{2}} (1 + \cos^2{\frac{\gamma}{2}})}{2\cos^2{\frac{\gamma}{2}} - 1 + \cos{\frac{\gamma}{2}}}\]

1. Вынесем \(\cos{\frac{\gamma}{2}}\) за скобки в числителе:

\[\frac{\cos{\frac{\gamma}{2}}(2\cos{\frac{\gamma}{2}} + 1 + \cos^2{\frac{\gamma}{2}})}{2\cos^2{\frac{\gamma}{2}} - 1 + \cos{\frac{\gamma}{2}}}\]

1. Заменим знаменатель на \(\cos \gamma + \cos{\frac{\gamma}{2}}\) :

\[\frac{\cos{\frac{\gamma}{2}}(2\cos{\frac{\gamma}{2}} + 1 + \cos^2{\frac{\gamma}{2}})}{\cos \gamma + \cos{\frac{\gamma}{2}}}\]

1. Используем формулу \(\cos \gamma = 2\cos^2{\frac{\gamma}{2}} - 1\) в знаменателе:

\[\frac{\cos{\frac{\gamma}{2}}(2\cos{\frac{\gamma}{2}} + 1 + \cos^2{\frac{\gamma}{2}})}{2\cos^2{\frac{\gamma}{2}} - 1 + \cos{\frac{\gamma}{2}}}\]

1. Заменим числитель и упростим:

\[\frac{\cos{\frac{\gamma}{2}} (\cos{\frac{\gamma}{2}} + 1)^2}{\cos{\frac{\gamma}{2}} + \cos{\gamma}}\]

1. Заменим знаменатель:

\[\frac{\cos{\frac{\gamma}{2}} (\cos{\frac{\gamma}{2}} + 1)^2}{\cos{\frac{\gamma}{2}} + 2\cos^2{\frac{\gamma}{2}} - 1}\]

1. Вынесем общий множитель в числителе:

\[\frac{\cos{\frac{\gamma}{2}} (\cos{\frac{\gamma}{2}} + 1 + \cos^2{\frac{\gamma}{2}})}{\cos{\frac{\gamma}{2}} + \cos{\gamma}}\]

Что и требовалось доказать.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что все шаги логически обоснованы и формулы применены верно.

Читерский прием: Для сложных тригонометрических выражений полезно использовать тригонометрические формулы для упрощения выражений.