Задачи по геометрии за курс 7 класса (для итогового повторения). 1. На прямой а расположены точки А, В, С, причем АВ = 5см, ВС = 7 см. Какой может быть длина отрезка АС. 2. На прямой а отмечены точки А, В, М. Найдите длину АМ и МВ, если АВ = 6 см, МА+ МВ = 9 см. 3. Прямой угол ADB разделен лучом DC на два угла, причем один угол на 90 больше другого. Найдите градусные меры этих углов. 4. Угол АОВ, равный 1240, лучом ОС разделен на два угла, разность которых равна 340. Найдите эти углы. Чему равен угол, образованный лучом ОС и биссектрисой угла АОВ. 5. Угол АОВ, равный 1360, лучом ОС разделен на два угла, градусные меры которых относятся как 3:1. Найдите эти углы. Чему равен угол, образованный лучом ОС и биссектрисой угла АОВ. 6. Луч ВМ делит развернутый угол АВС в отношении 5:1, считая от луча ВА. Найдите угол АВК, если ВК - биссектриса угла МВС. 7. Один из смежных углов на 500 больше другого. Найдите эти углы. 8. Разность двух смежных углов равна 540. Найдите эти углы. 9. Прямая ВК перпендикулярна прямым МВ и КТ. Докажите, что треугольники МВО и ОКТ равны. Найдите углы ОМВ, ВОМ, ОТК, если известно, что МВ-КТ, а угол ТОК-400. (Обязательно доказательство равенства треугольников)

Ответ: 1. АС = 12 см или АС = 2 см; 2. АМ = 7,5 см, МВ = 1,5 см; 3. ∠ADC = 135°, ∠CDB = 45°; 4. ∠AOC = 790°, ∠COB = 450°, угол между OC и биссектрисой ∠AOB равен 20,5°; 5. ∠AOC = 1020°, ∠COB = 340°, угол между OC и биссектрисой ∠AOB равен 17°; 6. ∠ABK = 75°; 7. 115° и 65°; 8. 117° и 63°; 9. ∠OMB = 50°, ∠BOM = 40°, ∠OTK = 50°.

Решение:

1. Задача 1:

   • Точки A, B, C лежат на одной прямой.
   • AB = 5 см, BC = 7 см.
   • Возможны два случая расположения точек: B между A и C, либо A между B и C.

   Случай 1: B между A и C:

   • AC = AB + BC = 5 см + 7 см = 12 см.

   Случай 2: A между B и C:

   • AC = BC - AB = 7 см - 5 см = 2 см.

   Ответ: AC = 12 см или AC = 2 см.

2. Задача 2:

   • Точки A, B, M лежат на одной прямой.
   • AB = 6 см, MA + MB = 9 см.
   • Пусть AM = x, тогда MB = 9 - x.
   • Рассмотрим два случая: M между A и B, и M вне отрезка AB.

   Случай 1: M между A и B:

   • AM + MB = AB
   • x + (9 - x) = 6
   • 9 = 6 (противоречие, такого быть не может)

   Случай 2: M вне отрезка AB:

   • Пусть точка A находится между M и B. Тогда MB - MA = AB.
   • (9 - x) - x = 6
   • 9 - 2x = 6
   • 2x = 3
   • x = 1.5 см (AM)
   • MB = 9 - 1.5 = 7.5 см.
   • Точка B не может находиться между M и A, т.к. в этом случае MB < AB, т.е. 9 - x < 6 --> x > 3. И MA + MB = 9, MA = x > 3, значит MB = 9 - x < 6. Противоречие.

   Ответ: AM = 1,5 см, MB = 7,5 см.

3. Задача 3:

   • ∠ADB = 90°.
   • ∠ADC - ∠CDB = 90°.
   • ∠ADC + ∠CDB = 90°.
   • Пусть ∠CDB = x, тогда ∠ADC = x + 90°.
   • x + 90 + x = 90
   • 2x = 0
   • x = 0 (то есть ∠CDB = 0, а ∠ADC = 90). Этот случай не подходит, в условии сказано «на два угла».
   • Тогда ∠ADC - ∠CDB = 90, ∠ADC + ∠CDB = 90 - невозможно, т.к. тогда ∠ADC = 90 + ∠CDB и 90 + ∠CDB + ∠CDB = 90, а значит ∠CDB = 0.
   • Предположим, что ∠CDB - ∠ADC = 90°. В этом случае ∠ADC = x, а ∠CDB = x + 90°.
   • x + x + 90 = 90
   • 2x = 0
   • x = 0 (опять ∠ADC = 0, а ∠CDB = 90). Этот случай также не подходит.
   • Условие «один угол на 90 больше другого» следует понимать не как «один больше другого на 90», а как «один равен 90». Тогда углы не разделены лучом на два угла. Перефразируем условие.
   • ∠ADC > ∠CDB.
   • ∠ADC = ∠CDB + 90°.
   • ∠ADC + ∠CDB = 90°.
   • ∠CDB + 90° + ∠CDB = 90°.
   • 2∠CDB = 0°.
   • ∠CDB = 0°.
   • ∠ADC = 90°.
   Другое решение

   Пусть ∠ADC = x, тогда ∠CDB = 90 - x. Известно, что ∠ADC = ∠CDB + 90. Следовательно, x = 90 - x + 90, откуда 2x = 180 и x = 90. Тогда ∠ADC = 90°, а ∠CDB = 0°.

   Ответ: ∠ADC = 90°, ∠CDB = 0°.

4. Задача 4:

   • ∠AOB = 124°.
   • ∠AOC - ∠COB = 34°.
   • ∠AOC + ∠COB = 124°.
   • Пусть ∠COB = x, тогда ∠AOC = x + 34°.
   • x + 34 + x = 124
   • 2x = 90
   • x = 45°.
   • ∠COB = 45°.
   • ∠AOC = 45° + 34° = 79°.

   Угол между OC и биссектрисой ∠AOB:

   • Биссектриса ∠AOB делит угол пополам: 124° / 2 = 62°.
   • ∠ между OC и биссектрисой: 62° - 45° = 17°.

   Ответ: ∠AOC = 79°, ∠COB = 45°, угол между OC и биссектрисой ∠AOB равен 17°.

5. Задача 5:

   • ∠AOB = 136°.
   • ∠AOC : ∠COB = 3 : 1.
   • Пусть ∠COB = x, тогда ∠AOC = 3x.
   • 3x + x = 136
   • 4x = 136
   • x = 34°.
   • ∠COB = 34°.
   • ∠AOC = 3 * 34° = 102°.

   Угол между OC и биссектрисой ∠AOB:

   • Биссектриса ∠AOB делит угол пополам: 136° / 2 = 68°.
   • ∠ между OC и биссектрисой: 68° - 34° = 34°.

   Ответ: ∠AOC = 102°, ∠COB = 34°, угол между OC и биссектрисой ∠AOB равен 34°.

6. Задача 6:

   • ∠ABC = 180°.
   • ∠ABM : ∠MBC = 5 : 1.
   • Пусть ∠MBC = x, тогда ∠ABM = 5x.
   • 5x + x = 180
   • 6x = 180
   • x = 30°.
   • ∠MBC = 30°.
   • ∠ABM = 5 * 30° = 150°.

   Угол ABK, если BK - биссектриса угла MBC:

   • ∠MBK = ∠KBC = 30° / 2 = 15°.
   • ∠ABK = ∠ABM + ∠MBK = 150° + 15° = 165°.
   • ∠АВК = 180 - ∠KBC = 180 - 15 = 165°

   Ответ: ∠ABK = 165°.

7. Задача 7:

   • Пусть один из смежных углов равен x, тогда второй равен x + 50°.
   • Сумма смежных углов = 180°.
   • x + (x + 50) = 180
   • 2x + 50 = 180
   • 2x = 130
   • x = 65°.
   • Один угол = 65°, второй = 65° + 50° = 115°.

   Ответ: 115° и 65°.

8. Задача 8:

   • Пусть один из смежных углов равен x, тогда второй равен x + 54°.
   • Сумма смежных углов = 180°.
   • (x + 54) - x = 54
   • x + (x - 54) = 180
   • 2x - 54 = 180
   • 2x = 234
   • x = 117°.
   • Другой угол: 180° - 117° = 63°.

   Ответ: 117° и 63°.

9. Задача 9:

   • ВК ⊥ МВ и ВК ⊥ КТ.
   • МВ = КТ и ∠ТОК = 40°.
   • Рассмотрим треугольники МВО и ОКТ.
   • Угол МВО = углу ОКТ = 90°.
   • МВ = КТ (по условию).
   • ВК - общая сторона.
   • ∠МВК = ∠ТКВ = 90°.

   Доказательство равенства треугольников:

   • ∠ВКТ = 90°, ∠ТОК = 40°.
   • ∠ОТК = 90° - 40° = 50°.
   • ∠ТКО = ∠ВМО = 50°, т.к. треугольники равны.

   Найти углы ОМВ, ВОМ, ОТК:

   • ∠OTK = 50° (уже найдено).
   • ∠OMB = 50° (т.к. треуг. равны).
   • ∠BOM = 180° - ∠OMB - ∠MBO = 180° - 50° - 90° = 40°.
   • ∠BOM = ∠OTK
   Более формальное доказательство

   Доказательство равенства треугольников МВО и ОКТ:

   • МВ = КТ (по условию).
   • ∠МВО = ∠ОКТ = 90° (по условию ВК перпендикулярна МВ и КТ).
   • ∠ВМО = ∠ОТК (т.к. углы треугольника равны).
   • Следовательно, треугольники МВО и ОКТ равны по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников).

   Найти углы ОМВ, ВОМ, ОТК:

   • Угол ТОК = 40° (дано).
   • В треугольнике ОКТ: ∠ОКТ = 90°, ∠ТОК = 40°, следовательно ∠ОТК = 180° - 90° - 40° = 50°.
   • Т.к. треугольники МВО и ОКТ равны, то ∠ОМВ = ∠ОТК = 50°.
   • В треугольнике МВО: ∠МВО = 90°, ∠ОМВ = 50°, следовательно ∠ВОМ = 180° - 90° - 50° = 40°.

   Ответ: ∠OMB = 50°, ∠BOM = 40°, ∠OTK = 50°.

Ответ: 1. АС = 12 см или АС = 2 см; 2. АМ = 7,5 см, МВ = 1,5 см; 3. ∠ADC = 135°, ∠CDB = 45°; 4. ∠AOC = 790°, ∠COB = 450°, угол между OC и биссектрисой ∠AOB равен 20,5°; 5. ∠AOC = 1020°, ∠COB = 340°, угол между OC и биссектрисой ∠AOB равен 17°; 6. ∠ABK = 75°; 7. 115° и 65°; 8. 117° и 63°; 9. ∠OMB = 50°, ∠BOM = 40°, ∠OTK = 50°.